$A_1,A_2,\cdots,A_8$ son puntos fijos en un círculo. Determina el entero positivo más pequeño $n$ tal que entre cualesquiera $n$ triángulos con estos ocho puntos como vértices, dos de ellos tendrán un lado común.

Sea $n$ un entero positivo. Los números reales $a_1,a_2,\cdots,a_n$ y $r_1,r_2,\cdots,r_n$ son tales que $a_1\leq a_2\leq \cdots \leq a_n$ y $0\leq r_1\leq r_2\leq \cdots \leq r_n$ . Demuestra que $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_i a_j \min (r_i,r_j)\geq 0$

Sea $\mathbb{N}^*$ el conjunto de enteros positivos. Define $a_1=2$ , y para $n=1, 2, \ldots,$ \[\na_{n+1}=\min\{\lambda|\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots\frac{1}{a_n}+\frac{1}{\lambda}<1,\lambda\in \mathbb{N}^*\}\] Demuestra que $a_{n+1}=a_n^2-a_n+1$ para $n=1,2,\ldots$ .

$ABC$ es un triángulo con un ángulo recto en $C$ . $M_1$ y $M_2$ son dos puntos arbitrarios dentro de $ABC$ , y $M$ es el punto medio de $M_1M_2$ . Las extensiones de $BM_1,BM$ y $BM_2$ intersectan $AC$ en $N_1,N$ y $N_2$ respectivamente. Demuestra que $\frac{M_1N_1}{BM_1}+\frac{M_2N_2}{BM_2}\geq 2\frac{MN}{BM}$

Sean $a$ y $b$ enteros positivos tales que $1\leq a<b\leq 100$ . Si existe un entero positivo $k$ tal que $ab|a^k+b^k$ , decimos que el par $(a, b)$ es bueno. Determina el número de pares buenos.

La circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ toca a $BC$ en $D$ y a $AB$ en $F$ , intersecta la línea $AD$ nuevamente en $H$ y la línea $CF$ nuevamente en $K$ . Demuestra que $\frac{FD\times HK}{FH\times DK}=3$

Para cualquier conjunto $A=\{a_1,a_2,\cdots,a_m\}$ , sea $P(A)=a_1a_2\cdots a_m$ . Sea $n={2010\choose99}$ , y sean $A_1, A_2,\cdots,A_n$ todos los subconjuntos de $99$ elementos de $\{1,2,\cdots,2010\}$ . Demuestra que $2010|\sum^{n}_{i=1}P(A_i)$ .

Sean $a,b,c\in\{0,1,2,\cdots,9\}$ . La ecuación cuadrática $ax^2+bx+c=0$ tiene una raíz racional. Demuestra que el número de tres dígitos $abc$ no es un número primo.

Sea ${n}$ un entero positivo fijo. ${A}$ y ${B}$ juegan el siguiente juego: $2023$ monedas marcadas $1, 2, \dots, 2023$ se encuentran en un círculo (las marcas se consideran en módulo $2023$ ) y cada moneda tiene dos lados. Inicialmente, todas las monedas están boca arriba y el objetivo de ${A}$ es hacer que tantas monedas estén boca abajo como sea posible. En cada operación, ${A}$ elige dos monedas marcadas ${k}$ y $k+3$ boca arriba (si ${A}$ no puede elegir, el juego termina) y ${B}$ elige una moneda marcada $k+1$ o $k+2$ y la voltea. Si en algún momento hay ${n}$ monedas boca abajo, ${A}$ gana. Encuentra el ${n}$ más grande tal que ${A}$ tenga una estrategia ganadora.

Sea $p(x)$ un polinomio de grado $n$ $(n \ge 2)$ con coeficientes enteros. Si hay infinitos enteros positivos $m$ , tal que $p(m)$ a lo sumo $n -1$ factores primos diferentes $f$ , demuestre que $p(x)$ tiene a lo sumo $n-1$ raíces racionales diferentes.