Demuestra que para cada entero positivo dado $k$, existen infinitos $n$, tales que $2^{n}+3^{n}-1, 2^{n}+3^{n}-2,\ldots, 2^{n}+3^{n}-k$ son todos números compuestos.

Sea $H$ el ortocentro del triángulo acutángulo $ABC$ y $D$ el punto medio de $BC$. Una línea que pasa por $H$ interseca a $AB,AC$ en $F,E$ respectivamente, tal que $AE=AF$. El rayo $DH$ interseca a la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ en $P$. Demuestra que $P,A,E,F$ son concíclicos.

Dado un entero $n\ge 3$, encuentra el entero positivo más pequeño $k$, tal que existe un conjunto $A$ con $k$ elementos, y $n$ reales distintos $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$ tales que $x_{1}+x_{2}, x_{2}+x_{3},\ldots, x_{n-1}+x_{n}, x_{n}+x_{1}$ pertenecen todos a $A$.

Sea $M$ el conjunto de los números reales excepto por un número finito de elementos. Demuestra que para cada entero positivo $n$ existe un polinomio $f(x)$ con $\deg f = n$, tal que todos los coeficientes y las $n$ raíces reales de $f$ están en $M$.

Supongamos que $c\in\left(\frac{1}{2},1\right)$ . Encuentra el menor $M$ tal que para cada entero $n\ge 2$ y números reales $0<a_1\le a_2\le\ldots \le a_n$ , si $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}ka_{k}=c\sum_{k=1}^{n}a_{k}$ , entonces siempre tenemos que $\sum_{k=1}^{n}a_{k}\le M\sum_{k=1}^{m}a_{k}$ donde $m=[cn]$

Supongamos que un punto en el plano se llama bueno si tiene coordenadas racionales. Demuestra que todos los puntos buenos pueden ser divididos en tres conjuntos que satisfacen: 1) Si el centro del círculo es bueno, entonces hay tres puntos en el círculo de cada uno de los tres conjuntos. 2) No hay tres puntos colineales que sean de cada uno de los tres conjuntos.

Para cada cuatro puntos $P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}$ en el plano, encuentra el valor mínimo de $\frac{\sum_{1\le\ i<j\le\ 4}P_{i}P_{j}}{\min_{1\le\ i<j\le\ 4}(P_{i}P_{j})}$ .

En una competición hay $18$ equipos y en cada ronda los $18$ equipos se dividen en $9$ parejas donde los $9$ partidos se juegan coincidentemente. Hay $17$ rondas, de modo que cada par de equipos juega entre sí exactamente una vez. Después de $n$ rondas, siempre existen $4$ equipos tales que hubo exactamente un partido jugado entre estos equipos en esas $n$ rondas. Encuentra el valor máximo de $n$ .

Dada la secuencia de polinomios $(p_{n}(x))$ que satisface $p_{1}(x)=x^{2}-1$ , $p_{2}(x)=2x(x^{2}-1)$ , y $p_{n+1}(x)p_{n-1}(x)=(p_{n}(x)^{2}-(x^{2}-1)^{2}$ , para $n\geq 2$ , sea $s_{n}$ la suma de los valores absolutos de los coeficientes de $p_{n}(x)$ . Para cada $n$ , encuentra un entero no negativo $k_{n}$ tal que $2^{-k_{n}}s_n$ sea impar.

Los lados del triángulo $ABC$ son $a,b,c$ respectivamente, $b<c$ , $AD$ es la bisectriz de $\angle A$ , el punto $D$ está en el segmento $BC$ . (1) Encuentra la propiedad que $\angle A$ , $\angle B$ , $\angle C$ tienen, de modo que existen puntos $E,F$ en $AB,AC$ que satisfacen $BE=CF$ , y $\angle NDE=\angle CDF$ (2) Cuando tales $E,F$ existen, expresa $BE$ con $a,b,c$