Dada una secuencia $\{ a_{n}\}$ tal que $a_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{2006}a_{n}^{2}$ , $n \in N$ , $a_{0}=\frac{1}{2}$ . Demuestra que $1-\frac{1}{2008}< a_{2006}< 1$ .

Podemos poner enteros positivos $1,2,3, \cdots 64$ en cuadrículas de $8 \times 8$ de tal manera que la suma de los números en cualquier $4$ cuadrículas que tengan la forma como $T$ ( $3$ en la parte superior y $1$ debajo de la del medio en la parte superior, esto se puede rotar en cualquier dirección) se pueda dividir por $5$?

$a,b,c$ son números positivos tales que $a+b+c=3$, demuestra que: \[\frac{a^{2}+9}{2a^{2}+(b+c)^{2}}+\frac{b^{2}+9}{2b^{2}+(a+c)^{2}}+\frac{c^{2}+9}{2c^{2}+(a+b)^{2}}\leq 5\]

Dada una función $f(x)=x^{2}+ax+b$ con $a,b \in R$, si existe un número real $m$ tal que $\left| f(m) \right| \leq \frac{1}{4}$ y $\left| f(m+1) \right| \leq \frac{1}{4}$, entonces encuentra el máximo y el mínimo del valor de $\Delta=a^{2}-4b$.

$AD$ es la altitud en el lado $BC$ del triángulo $ABC$. Si $BC+AD-AB-AC = 0$, encuentra el rango de $\angle BAC$. Formulación alternativa. Sea $AD$ la altitud del triángulo $ABC$ al lado $BC$. Si $BC+AD=AB+AC$, entonces encuentra el rango de $\angle{A}$ .

$p$ es un número primo que es mayor que $2$. Sea $\{ a_{n}\}$ una secuencia tal que $ na_{n+1}= (n+1) a_{n}-\left( \frac{p}{2}\right)^{4}$ . Demuestra que si $a_{1}=5$, entonces $16 \mid a_{81}$ .

$AB$ es el diámetro del círculo $O$, $CD$ es una cuerda no diametral que es perpendicular a $AB$. Sea $E$ el punto medio de $OC$, conectar $AE$ y extenderlo para que se encuentre con el círculo en el punto $P$. Sean $DP$ y $BC$ se encuentran en $F$. Demuestra que $F$ es el punto medio de $BC$.

Sean $a_1, a_2, \ldots, a_n$ números reales tales que $\sum_{i=1}^n a_i = n$ , $\sum_{i = 1}^n a_i^2 = 2n$ , $\sum_{i=1}^n a_i^3 = 3n$ . (i) Encuentre la constante más grande $C$ , tal que para todo $n \geqslant 4$ , \[ \max \left\{ a_1, a_2, \ldots, a_n \right\} - \min \left\{ a_1, a_2, \ldots, a_n \right\} \geqslant C. \] (ii) Pruebe que existe una constante positiva $C_2$ , tal que \[ \max \left\{ a_1, a_2, \ldots, a_n \right\} - \min \left\{ a_1, a_2, \ldots, a_n \right\} \geqslant C + C_2 n^{-\frac 32}, \] donde $C$ es la constante determinada en (i).

Sea $p$ un número primo y $f$ una biyección de $\left\{0,1,\ldots,p-1\right\}$ a sí mismo. Suponga que para enteros $a,b \in \left\{0,1,\ldots,p-1\right\}$ , $|f(a) - f(b)|\leqslant 2024$ si $p \mid a^2 - b$ . Pruebe que existen infinitos $p$ tales que existe tal $f$ y también existen infinitos $p$ tales que no existe tal $f$ .

La distancia fraccional entre dos puntos $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ se define como \[ \sqrt{ \left\| x_1 - x_2 \right\|^2 + \left\| y_1 - y_2 \right\|^2},\] donde $\left\| x \right\|$ denota la distancia entre $x$ y su entero más cercano. Encuentre el real más grande $r$ tal que existan cuatro puntos en el plano cuya distancia fraccional por pares sea al menos $r$ .