Sea $n \geq 2$ un entero. Reales positivos $x_1, x_2, \cdots, x_n$ satisfacen $x_1x_2 \cdots x_n = 1$. Demuestra: $$\lbrace x_1\rbrace + \lbrace x_2\rbrace + \cdots + \lbrace x_n\rbrace < \frac{2n-1}{2}$$ Donde $\lbrace x\rbrace$ denota la parte fraccionaria de $x$.

Números reales $x_1, x_2, \dots, x_{2018}$ satisfacen $x_i + x_j \geq (-1)^{i+j}$ para todo $1 \leq i < j \leq 2018$. Encuentra el valor mínimo posible de $\sum_{i=1}^{2018} ix_i$.

Para un entero positivo $ n,$ $ a_{n}=n\sqrt{5}- \lfloor n\sqrt{5}\rfloor$ . Calcular el valor máximo y el valor mínimo de $ a_{1},a_{2},\ldots ,a_{2009}.$

En un tablero de ajedrez de $ 10 \times 10$, se eligen algunos $ 4n$ cuadrados unitarios para formar una región $ \mathcal{R}.$ Esta región $ \mathcal{R}$ puede ser cubierta por $ n$ cuadrados de $ 2 \times 2$. Esta región $ \mathcal{R}$ también puede ser cubierta por una combinación de $ n$ piezas de los siguientes tipos de formas (ver abajo, con rotaciones permitidas). Determinar el valor de $ n.$

El círculo $ \Gamma_{1},$ con radio $ r,$ es internamente tangente al círculo $ \Gamma_{2}$ en $ S.$ La cuerda $ AB$ de $ \Gamma_{2}$ es tangente a $ \Gamma_{1}$ en $ C.$ Sea $ M$ el punto medio del arco $ AB$ (que no contiene a $ S$ ) , y sea $ N$ el pie de la perpendicular de $ M$ a la recta $ AB.$ Demostrar que $ AC\cdot CB=2r\cdot MN.$

Sean $ x,y,z$ números reales mayores o iguales que $ 1.$ Demostrar que \[ \prod(x^{2} - 2x + 2)\le (xyz)^{2} - 2xyz + 2.\]

Sea $ n$ un entero mayor que $ 3.$ Puntos $ V_{1},V_{2},...,V_{n},$ sin tres colineales, se encuentran en un plano. Algunos de los segmentos $ V_{i}V_{j},$ con $ 1 \le i < j \le n,$ son construidos. Los puntos $ V_{i}$ y $ V_{j}$ son vecinos si $ V_{i}V_{j}$ es construido. Inicialmente, las piezas de ajedrez $ C_{1},C_{2},...,C_{n}$ se colocan en los puntos $ V_{1},V_{2},...,V_{n}$ (no necesariamente en ese orden) con exactamente una pieza en cada punto. En un movimiento, se puede elegir algunas de las $ n$ piezas de ajedrez, y simultáneamente reubicar cada una de las piezas elegidas desde su posición actual a una de sus posiciones vecinas de tal manera que después del movimiento, exactamente una pieza de ajedrez esté en cada punto y no dos piezas de ajedrez hayan intercambiado sus posiciones. Un conjunto de segmentos construidos se llama armónico si para cualquier posición inicial de las piezas de ajedrez, cada pieza de ajedrez $ C_{i}(1 \le i \le n)$ está en el punto $ V_{i}$ después de un número finito de movimientos. Determinar el número mínimo de segmentos en un conjunto armónico.

Sea $ n$ un entero positivo dado. En el conjunto de coordenadas, considerar el conjunto de puntos $ \{P_{1},P_{2},...,P_{4n+1}\}$=\{(x,y)|x,y\in \mathbb{Z}, xy=0, |x|\le n, |y|\le n\}.$ Determinar el mínimo de $ (P_{1}P_{2})^{2} + (P_{2}P_{3})^{2} +...+ (P_{4n}P_{4n+1})^{2} + (P_{4n+1}P_{1})^{2}.$

Un triángulo rectángulo $ ABC,$ con $ \angle A=90^{\circ},$ está inscrito en el círculo $ \Gamma.$ El punto $ E$ se encuentra en el interior del arco $ {BC}$ (que no contiene a $ A$ ) con $ EA>EC.$ El punto $ F$ se encuentra en el rayo $ EC$ con $ \angle EAC = \angle CAF.$ El segmento $ BF$ se encuentra con $ \Gamma$ de nuevo en $ D$ (distinto de $ B$ ) . Sea $ O$ el circuncentro del triángulo $ DEF.$ Demostrar que $ A,C,O$ son colineales.

Demostrar que existen solo un número finito de tríos $ (x,y,z)$ de enteros positivos que satisfacen la ecuación $ abc=2009(a+b+c).$