Si el conjunto $S = \{1,2,3,…,16\}$ se divide en $n$ subconjuntos, debe haber un subconjunto en el que existan elementos $a, b, c$ (pueden ser iguales), que satisfagan $a+ b=c$ . Encuentra el valor máximo de $n$ .

Si $n=p_1^{a_1},p_2^{a_2}...p_s^{a_s}$ entonces $\phi (n)=n \left(1- \frac{1}{p_1}\right)\left(1 - \frac{1}{p_2}\right)...\left(1- \frac{1}{p_s}\right)$ . Encuentra el entero positivo más pequeño $n$ tal que $\phi (n)=\frac{2^5}{47}n.$

Se sabe que $\odot O$ es la circunferencia circunscrita del $\vartriangle ABC$ con diámetro $AB$ . Las tangentes de $\odot O$ en los puntos $B$ y $C$ se intersecan en $P$ . La línea perpendicular a $PA$ en el punto $A$ interseca la extensión de $BC$ en el punto $D$ . Extiende $DP$ a una longitud $PE = PB$ . Si $\angle ADP = 40^o$ , encuentra la medida de $\angle E$ .

Encuentra todas las soluciones enteras a la ecuación $$\frac{xyz}{w}+\frac{yzw}{x}+\frac{zwx}{y}+\frac{wxy}{z}=4$$

Sean $n,k$ enteros positivos, satisfaciendo que $n$ es par, $k\geq 2$ y $n>4k.$ Hay $n$ puntos en la circunferencia de un círculo. Si los puntos finales de $\frac{n}{2}$ cuerdas en un círculo que no se intersecan entre sí son exactamente los $n$ puntos, llamamos a estas cuerdas un emparejamiento. Determine el máximo entero $m,$ tal que para cualquier emparejamiento, existen $k$ puntos consecutivos, satisfaciendo que todos los puntos finales de al menos $m$ cuerdas están en los $k$ puntos.

Sea $p$ un primo y $c$ un compuesto, respectivamente. Demuestra que existen dos enteros $m,n,$ tales que $$0<m-n<\frac{\textup{lcm}(n+1,n+2,\cdots,m)}{\textup{lcm}(n,n+1,\cdots,m-1)}=p^c.$$

Sea $n \geq 2$ un entero. Reales positivos satisfacen $a_1\geq a_2\geq \cdots\geq a_n.$ Demuestra que $$\left(\sum_{i=1}^n\frac{a_i}{a_{i+1}}\right)-n \leq \frac{1}{2a_1a_n}\sum_{i=1}^n(a_i-a_{i+1})^2,$$ donde $a_{n+1}=a_1.$

En un triángulo acutángulo $ABC,$ $AB<AC,$ $O$ es el circuncentro del triángulo. $M$ es el punto medio del segmento $BC,$ $(AOM)$ interseca la línea $AB$ nuevamente en $D$ e interseca el segmento $AC$ en $E.$ Demuestra que $DM=EC.$

En un $\triangle ABC$ acutángulo, $AB > AC$, los puntos $E, F$ se encuentran en $AC, AB$ respectivamente, satisfaciendo $BF+CE = BC$. Sean $I_B, I_C$ los excentros de $\triangle ABC$ opuestos a $B, C$ respectivamente, $EI_C, FI_B$ se intersecan en $T$, y sea $K$ el punto medio del arco $BAC$. Sea $KT$ interseca la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ en $K,P$. Demuestra que $T,F,P,E$ son concíclicos.

Sea $M = \lbrace 1,2,\cdots , 10\rbrace$, y sea $T$ un conjunto de subconjuntos de 2 elementos de $M$. Para cualesquiera dos elementos diferentes $\lbrace a,b\rbrace, \lbrace x,y\rbrace$ en $T$, el entero $(ax+by)(ay+bx)$ no es divisible por 11. Encuentra el tamaño máximo de $T$.