Sean \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) enteros tales que \(a_1 > a_2 > \cdots > a_n > 1\) . Sea \(M = \operatorname{lcm} \left( a_1, a_2, \ldots, a_n \right)\) . Para cualquier conjunto finito no vacío $X$ de enteros positivos, defina \[ f(X) = \min_{1 \leqslant i \leqslant n} \sum_{x \in X} \left\{ \frac{x}{a_i} \right\}. \] Un conjunto $X$ se llama minimal si para cada subconjunto propio $Y$ de él, $f(Y) < f(X)$ siempre se cumple. Suponga que $X$ es minimal y $f(X) \geqslant \frac{2}{a_n}$ . Pruebe que \[ |X| \leqslant f(X) \cdot M. \]

Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$ . Denotemos los puntos medios de $AI$ , $AC$ y $CI$ por $L$ , $M$ y $N$ respectivamente. El punto $D$ se encuentra en el segmento $AM$ tal que $BC= BD$ . Sea la circunferencia inscrita del triángulo $ABD$ tangente a $AD$ y $BD$ en $E$ y $F$ respectivamente. Denotemos el circuncentro del triángulo $AIC$ por $J$ , y la circunferencia circunscrita del triángulo $JMD$ por $\omega$ . Las líneas $MN$ y $JL$ se encuentran con $\omega$ nuevamente en $P$ y $Q$ respectivamente. Pruebe que $PQ$ , $LN$ y $EF$ son concurrentes.

Sea $\alpha > 1$ un número irracional y $L$ un entero tal que $L > \frac{\alpha^2}{\alpha - 1}$ . Una secuencia $x_1, x_2, \cdots$ satisface que $x_1 > L$ y para todos los enteros positivos $n$ , \[ x_{n+1} = \begin{cases} \left \lfloor \alpha x_n \right \rfloor & \textup{si} \; x_n \leqslant L \\\left \lfloor \frac{x_n}{\alpha} \right \rfloor & \textup{si} \; x_n > L \end{cases}. \] Pruebe que (i) $\left\{x_n\right\}$ es eventualmente periódica. (ii) El período fundamental eventual de $\left\{x_n\right\}$ es un entero impar que no depende de la elección de $x_1$ .

$n$ es un entero positivo dado, tal que es posible pesar la masa de cualquier producto que pese $1,2,3,\cdots ,ng$ con un contrapeso sin deslizamiento y $k$ contrapesos, que pesan $x_ig(i=1,2,\cdots ,k),$ respectivamente, donde $x_i\in \mathbb{N}^*$ para cualquier $i \in \{ 1,2,\cdots ,k\}$ y $x_1\leq x_2\leq\cdots \leq x_k.$ $(1)$ Sea $f(n)$ el menor número posible de $k$ . Encuentra $f(n)$ en términos de $n.$ $(2)$ Encuentra todos los números posibles de $n,$ tal que la secuencia $x_1,x_2,\cdots ,x_{f(n)}$ está determinada de manera única.

Sean $a$ , $b$ , $c$ números reales. Sean $z_{1}$ , $z_{2}$ , $z_{3}$ números complejos tales que $|z_{k}|=1$ $(k=1,2,3)$ y $\frac{z_{1}}{z_{2}}+\frac{z_{2}}{z_{3}}+\frac{z_{3}}{z_{1}}=1$ Encuentra $|az_{1}+bz_{2}+cz_{3}|$ .

En el cuadrilátero convexo $ABCD, \angle BAC=\angle CAD.$ $E$ se encuentra en el segmento $CD$ , y $BE$ y $AC$ se intersecan en $F,$ $DF$ y $BC$ se intersecan en $G.$ Demuestra que $\angle GAC=\angle EAC.$

Dado un entero $n > 3.$ Demuestra que existe un conjunto $S$ que consta de $n$ enteros positivos distintos por pares tal que para cada dos subconjuntos no vacíos diferentes de $S$ : $A,B, \frac {\sum_{x\in A}x}{|A|}$ y $ \frac {\sum_{x\in B}x}{|B|}$ son dos compuestos que no comparten divisores comunes.

Sea $P$ un polígono convexo de $n$ lados cada uno de cuyos lados y diagonales está coloreado con uno de $n$ colores distintos. ¿Para qué $n$ existe un método de coloración tal que para cada tres de los $n$ colores, siempre podemos encontrar un triángulo cuyos vértices son de $P$ y cuyos lados están coloreados con los tres colores respectivamente?

Dado un entero $n > 3.$ Sean $a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$ números reales que satisfacen $min |a_{i} - a_{j}| = 1, 1\le i\le j\le n.$ Encuentra el valor mínimo de $ \sum_{k = 1}^n|a_{k}|^3.$

Dados dos enteros $m,n$ que satisfacen $4 < m < n.$ Sea $A_{1}A_{2}\cdots A_{2n + 1}$ un polígono regular de $2n+1$ lados. Denotemos por $P$ el conjunto de sus vértices. Encuentra el número de polígonos convexos de $m$ lados cuyos vértices pertenecen a $P$ y que tienen exactamente dos ángulos agudos.