Queremos organizar a $7$ estudiantes para que asistan a $5$ eventos deportivos, pero los estudiantes $A$ y $B$ no pueden participar en el mismo evento, cada evento tiene sus propios participantes, y cada estudiante solo puede asistir a un evento. ¿Cuántos arreglos hay?

Si ${\cos^5 x}-{\sin^5 x}<7({\sin^3 x}-{\cos ^3 x}) $ (para $x\in [ 0,2\pi) $ ) , entonces encuentre el rango de $x$.

Si ${\cos^5 x}-{\sin^5 x}<7({\sin^3 x}-{\cos ^3 x}) $ (para $x\in [ 0,2\pi) $ ) , entonces encuentre el rango de $x$.

Sean $a,b$ reales positivos tales que $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\leq2\sqrt2$ y $(a-b)^2=4(ab)^3$. Encuentre $\log_a b$.

Encuentre el rango de la función $f(x)=\frac{\sqrt{x^2+1}}{x-1}$.

Sea el conjunto $A=(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4})$. Si la suma de los elementos en cada subconjunto de 3 elementos de $A$ forma el conjunto $B=(-1,5,3,8)$, entonces encuentre el conjunto $A$.

$n\geq 3$ es un entero. $\alpha,\beta,\gamma \in (0,1)$ . Para cada $a_k,b_k,c_k\geq0(k=1,2,\dotsc,n)$ con $\sum\limits_{k=1}^n(k+\alpha)a_k\leq \alpha, \sum\limits_{k=1}^n(k+\beta)b_k\leq \beta, \sum\limits_{k=1}^n(k+\gamma)c_k\leq \gamma$ , siempre tenemos $\sum\limits_{k=1}^n(k+\lambda)a_kb_kc_k\leq \lambda$ . Encuentra el mínimo de $\lambda$.

Dado una cuadrícula de $3\times 3$, llamamos al resto de la cuadrícula un 'ángulo' cuando una cuadrícula de $2\times 2$ se recorta de la cuadrícula. Ahora colocamos algunos ángulos en una cuadrícula de $10\times 10$ de tal manera que los bordes de esos ángulos deben estar en las líneas de la cuadrícula o sus bordes, además no hay superposición entre los ángulos. Determina el valor máximo de $k$ , de tal manera que no importa cómo coloquemos $k$ ángulos en la cuadrícula, siempre podemos colocar otro ángulo en la cuadrícula.

$n>1$ es un entero. Los primeros $n$ primos son $p_1=2,p_2=3,\dotsc, p_n$ . Sea $A=p_1^{p_1}p_2^{p_2}...p_n^{p_n}$ . Encuentra todos los enteros positivos $x$ , tales que $\dfrac Ax$ es par, y $\dfrac Ax$ tiene exactamente $x$ divisores.

$f(x)=\sum\limits_{i=1}^{2013}\left[\dfrac{x}{i!}\right]$ . Un entero $n$ se llama bueno si $f(x)=n$ tiene raíz real. ¿Cuántos números buenos hay en $\{1,3,5,\dotsc,2013\}$ ?