Sea $P=[a_{ij}]_{3\times 9}$ una matriz de $3\times 9$ donde $a_{ij}\ge 0$ para todo $i,j$. Se dan las siguientes condiciones: Cada fila consta de números distintos; $\sum_{i=1}^{3}x_{ij}=1$ para $1\le j\le 6$ ; $x_{17}=x_{28}=x_{39}=0$ ; $x_{ij}>1$ para todo $1\le i\le 3$ y $7\le j\le 9$ tal que $j-i\not= 6$. Las primeras tres columnas de $P$ satisfacen la siguiente propiedad $(R)$ : para una columna arbitraria $[x_{1k},x_{2k},x_{3k}]^T$ , $1\le k\le 9$ , existe un $i\in\{1,2,3\}$ tal que $x_{ik}\le u_i=\min (x_{i1},x_{i2},x_{i3})$. Demuestra que: a) los elementos $u_1,u_2,u_3$ provienen de tres columnas diferentes; b) si una columna $[x_{1l},x_{2l},x_{3l}]^T$ de $P$ , donde $l\ge 4$ , satisface la condición de que después de reemplazar la tercera columna de $P$ por ella, las primeras tres columnas de la matriz $P'$ recién obtenida todavía tienen la propiedad $(R)$ , entonces esta columna existe únicamente.

Sean $k,l$ dos enteros dados. Demuestra que existen infinitos enteros $m\ge k$ tales que $\gcd\left(\binom{m}{k},l\right)=1$.

Sea $n$ un entero positivo. Demuestra que \[-1<\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{k^2+1}-\ln n\le\frac{1}{2}\]

Sea $\omega$ el circuncírculo del triángulo acutángulo $ABC$ donde $\angle A<\angle B$ y $M,N$ sean los puntos medios de los arcos menores $BC,AC$ de $\omega$ respectivamente. La recta $PC$ es paralela a $MN$, intersectando $\omega$ en $P$ (diferente de $C$). Sea $I$ el incentro de $ABC$ y sea $PI$ que intersecta a $\omega$ de nuevo en el punto $T$. 1) Demuestra que $MP\cdot MT=NP\cdot NT$ ; 2) Sea $Q$ un punto arbitrario en el arco menor $AB$ e $I,J$ los incentros de los triángulos $AQC,BCQ$. Demuestra que $Q,I,J,T$ son concíclicos.

Una línea $\ell$ con pendiente de $\frac{1}{3}$ intersecta la elipse $C:\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{4}=1$ en los puntos $A,B$ y el punto $P\left( 3\sqrt{2} , \sqrt{2}\right)$ está por encima de la línea $\ell$. (1) Demuestre que el lugar geométrico del incentro del triángulo $PAB$ es un segmento, (2) Si $\angle APB=\frac{\pi}{3}$ , entonces encuentre el área del triángulo $PAB$.

Una secuencia $a_n$ satisface $a_1 =2t-3$ ( $t \ne 1,-1$ ) , y $a_{n+1}=\dfrac{(2t^{n+1}-3)a_n+2(t-1)t^n-1}{a_n+2t^n-1}$. i) Encuentre $a_n$ , ii) Si $t>0$ , compare $a_{n+1}$ con $a_n$.

Sea $f(x)=|\log(x+1)|$ y sean $a,b$ dos números reales ( $a<b$ ) que satisfacen las ecuaciones $f(a)=f\left(-\frac{b+1}{a+1}\right)$ y $f\left(10a+6b+21\right)=4\log 2$. Encuentre $a,b$.

Dado que $a_{n}= \binom{200}{n} \cdot 6^{\frac{200-n}{3}} \cdot (\dfrac{1}{\sqrt{2}})^n$ ( $ 1 \leq n \leq 95$ ) . ¿Cuántos enteros hay en la secuencia ${a_n}$ ?

La línea $x-2y-1=0$ intersecta la parábola $y^2=4x$ en dos puntos diferentes $A, B$. Sea $C$ un punto en la parábola tal que $\angle ACB=\frac{\pi}{2}$. Encuentre la coordenada del punto $C$.

En un tetraedro $ABCD$, dado que $\angle ADB=\angle BDC =\angle CDA=\frac{\pi}{3}$ , $AD=BD=3$ , y $CD=2$. Encuentre el radio de la circunferencia circunscrita de $ABCD$.