Sean $P_i$ $i=1,2,......n$ $n$ puntos en el plano , $M$ es un punto en el segmento $AB$ en el mismo plano , prueba : $\sum_{i=1}^{n} |P_iM| \le \max( \sum_{i=1}^{n} |P_iA| , \sum_{i=1}^{n} |P_iB| )$ . (Aquí $|AB|$ significa la longitud del segmento $AB$ ) .

En el triángulo $ABC$ , $AA_0,BB_0,CC_0$ son las bisectrices de los ángulos , $A_0,B_0,C_0$ están en los lados $BC,CA,AB,$ dibuja $A_0A_1//BB_0,A_0A_2//CC_0$ , $A_1$ está en $AC$ , $A_2$ está en $AB$ , $A_1A_2$ interseca a $BC$ en $A_3$ . $B_3$ , $C_3$ se construyen de manera similar. Prueba que : $A_3,B_3,C_3$ son colineales.

Sea $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$ , una línea que pasa por $O$ interseca los lados $AB,AC$ en los puntos $M,N$ , $E$ es el punto medio de $MC$ , $F$ es el punto medio de $NB$ , prueba que : $\angle FOE= \angle BAC$

Encuentra todos los enteros positivos $n$ , tales que para todos los subconjuntos de 35 elementos de $M=(1,2,3,...,50)$ , existe al menos dos elementos diferentes $a,b$ , que satisfacen: $a-b=n$ o $a+b=n$ .

Si los enteros positivos $a,b,c$ son coprimos por pares, y, \n\[ a^2|(b^3+c^3), b^2|(a^3+c^3), c^2|(a^3+b^3) \]\nencuentra $a,b,$ y $c$

Si $\min \left \{ \frac{ax^2+b}{\sqrt{x^2+1}} \mid x \in \mathbb{R}\right \} = 3$ , entonces (1) Encuentra el rango de $b$ ; (2) para cada $b$ dado, encuentra $a$ .

Encuentre el valor mínimo de $c$ tal que para cualquier entero positivo $n\ge 4$ y cualquier conjunto $A\subseteq \{1,2,\cdots,n\}$, si $|A| >cn$, existe una función $f:A\to\{1,-1\}$ que satisface $$\left| \sum_{a\in A}a\cdot f(a)\right| \le 1.$$

Si $n\ge 4,\ n\in\mathbb{N^*},\ n\mid (2^n-2)$. Demuestre que $\frac{2^n-2}{n}$ no es un número primo.

En $\triangle ABC$, el punto $M$ es el punto medio de $AC$. $MD//AB$ y se encuentra con la tangente de $A$ a $\odot(ABC)$ en el punto $D$. El punto $E$ está en $AD$ y el punto $A$ es el punto medio de $DE$. $\{P\}=\odot(ABE)\cap AC,\{Q\}=\odot(ADP)\cap DM$. Demuestre que $\angle QCB=\angle BAC$.

Sea $k\ge 2$ un entero y $a_1,a_2,\cdots,a_k$, sean $k$ números reales no nulos. Demuestre que hay finitamente muchos pares de enteros positivos distintos por pares $(n_1,n_2,\cdots,n_k)$ tales que $$a_1\cdot n_1!+a_2\cdot n_2!+\cdots+a_k\cdot n_k!=0.$$