Hay $12$ acróbatas a los que se les asigna un número distinto ( $1, 2, \cdots , 12$ ) respectivamente. La mitad de ellos se colocan alrededor formando un círculo (llamado círculo A); el resto forma otro círculo (llamado círculo B) parándose sobre los hombros de cada dos acróbatas adyacentes en el círculo A respectivamente. Entonces el círculo A y el círculo B conforman una formación. Llamamos a una formación una 'torre' si el número de cualquier acróbata en el círculo B es igual a la suma de los números de los dos acróbatas sobre los que se encuentra. ¿Cuántas torres heterogéneas hay? (Nota: dos torres son homogéneas si son simétricas o una puede convertirse en la otra por rotación. Presentamos un ejemplo de $8$ acróbatas (ver adjunto). Los números dentro del círculo representan el círculo A; los números fuera del círculo representan el círculo B. Todas estas tres formaciones son 'torres', sin embargo son torres homogéneas.)

Una secuencia $\{a_n\}$ , $a_1=1,a_2=2,a_{n+1}=\dfrac{a_n^2+(-1)^n}{a_{n-1}}$ . Demuestra que $a_m^2+a_{m+1}^2\in\{a_n\},\forall m\in\Bbb N$.

$\triangle ABC$ , $AB>AC$ . El incírculo $I$ de $\triangle ABC$ se encuentra con $BC$ en el punto $D$ , $AD$ se encuentra con $I$ nuevamente en $E$ . $EP$ es tangente a $I$ , y $EP$ se encuentra con la línea de extensión de $BC$ en $P$ . $CF\parallel PE$ , $CF\cap AD=F$ . La línea $BF$ se encuentra con $I$ en $M,N$ , el punto $M$ está en el segmento de línea $BF$ , el segmento de línea $PM$ se encuentra con $I$ nuevamente en $Q$ . Demuestra que $\angle ENP=\angle ENQ$.

Sean $a,b$ números reales tales que la ecuación $x^3-ax^2+bx-a=0$ tiene tres raíces reales positivas. Encuentra el mínimo de $\frac{2a^3-3ab+3a}{b+1}$.

Para cualquier 2 polígonos convexos $S$ y $T$, si todos los vértices de $S$ son vértices de $T$, llama a $S$ un subpolígono de $T$.\nI. Demuestra que para un número impar $n \geq 5$, existen $m$ subpolígonos de un $n$-gono convexo tales que no comparten ninguna arista, y cada arista y diagonal del $n$-gono son aristas de los $m$ subpolígonos.\nII. Encuentra el valor posible más pequeño de $m$.

Dados números primos distintos $p$ y $q$ y un número natural $n \geq 3$, encuentra todos los $a \in \mathbb{Z}$ tales que el polinomio $f(x) = x^n + ax^{n-1} + pq$ se pueda factorizar en 2 polinomios integrales de grado al menos 1.

Dados $5n$ números reales $r_i, s_i, t_i, u_i, v_i \geq 1 (1 \leq i \leq n)$, sea $R = \frac {1}{n} \sum_{i=1}^{n} r_i$, $S = \frac {1}{n} \sum_{i=1}^{n} s_i$, $T = \frac {1}{n} \sum_{i=1}^{n} t_i$, $U = \frac {1}{n} \sum_{i=1}^{n} u_i$, $V = \frac {1}{n} \sum_{i=1}^{n} v_i$. Demuestra que $\prod_{i=1}^{n}\frac {r_i s_i t_i u_i v_i + 1}{r_i s_i t_i u_i v_i - 1} \geq \left(\frac {RSTUV +1}{RSTUV - 1}\right)^n$.

Encuentra el $n \in \mathbb{N}$ más pequeño tal que si 5 vértices cualesquiera de un $n$-gono regular se colorean de rojo, existe una línea de simetría $l$ del $n$-gono tal que cada punto rojo se refleja a través de $l$ a un punto no rojo.

Una cuadrícula de $n \times n$, donde cada cuadrado contiene un número, se llama un $n$-código si los números en cada fila y columna forman una progresión aritmética. Si es suficiente conocer los números en ciertos cuadrados de un $n$-código para obtener los números en toda la cuadrícula, llama a estos cuadrados una clave.\na.) Encuentra el $s \in \mathbb{N}$ más pequeño tal que cualquier $s$ cuadrados en un $n$-código $(n \geq 4)$ forman una clave.\nb.) Encuentra el $t \in \mathbb{N}$ más pequeño tal que cualquier $t$ cuadrados a lo largo de las diagonales de un $n$-código $(n \geq 4)$ forman una clave.

Encuentra todos los conjuntos que comprenden 4 números naturales tales que el producto de 3 números cualesquiera en el conjunto deja un residuo de 1 cuando se divide por el número restante.