Para un entero positivo $n$ , define $f(n)$ : el entero positivo más pequeño que no divide a $n$ . Considera la secuencia $(a_n): a_1=a_2=1, a_n=a_{f(n)}+1(n\geq3)$ . Por ejemplo, $a_3=a_2+1=2,a_4=a_3+1=3$ . (a) Demuestra que existe un entero positivo $C$ , para cualquier entero positivo $n$ , $a_n\leq C$ . (b) ¿Existen enteros positivos $M$ y $T$ , que satisfagan que para cualquier entero positivo $n\geq M$ , $a_n=a_{n+T}$ .

Hay $n$ ciudades en el País Qingqiu. La distancia entre dos ciudades cualesquiera es diferente. El rey del país planea numerar las ciudades y establecer líneas aéreas bidireccionales de la siguiente manera: La primera vez, establece una línea aérea bidireccional entre la ciudad 1 y la ciudad más cercana a ella. La segunda vez, establece una línea aérea bidireccional entre la ciudad 2 y la segunda ciudad más cercana a ella. ... La $n-1$ ésima vez, establece una línea aérea bidireccional entre la ciudad $n-1$ y la ciudad más lejana a ella. Demuestra: El rey puede numerar las ciudades de una manera apropiada para que pueda ir a cualquier otra ciudad desde cualquier ciudad en avión.

Para números reales no negativos $a,b,c,x,y,z$ , si $a+b+c=x+y+z=1$ , encuentra el valor máximo de $(a-x^2)(b-y^2)(c-z^2)$ .

Dos círculos $O_1$ y $O_2$ se intersecan en $A,B$ . La bisectriz del ángulo externo $\angle O_1AO_2$ interseca a $O_1$ en $C$ , $O_2$ en $D$ . $P$ es un punto en $\odot(BCD)$ , $CP\cap O_1=E,DP\cap O_2=F$ . Demuestra que $PE=PF$ .

Un gerente de una compañía tiene 8 trabajadores. Un día, él realiza algunas reuniones. (1) Cada reunión dura 1 hora, sin descanso entre dos reuniones. (2) Tres trabajadores asisten a cada reunión. (3) Dos trabajadores cualesquiera han asistido al menos a una reunión en común. (4) Cualquier trabajador no puede irse hasta que termine todas sus reuniones. Entonces, ¿cuánto tiempo trabaja al menos el trabajador que trabaja más tiempo?

$n(n\geq2)$ es un entero dado, y $a_1,a_2,...,a_n$ son números reales. Para cualquier $i=1,2,\cdots ,n$ , $$a_i\neq -1,a_{i+2}=\frac{a_i^2+a_i}{a_{i+1}+1}.$$ Demuestra: $a_1=a_2=\cdots=a_n$ . (Nota: $a_{n+1}=a_1,a_{n+2}=a_2$ . )

Dos círculos $O_1$ y $O_2$ se intersecan en $A,B$ . El diámetro $AC$ de $\odot O_1$ interseca a $\odot O_2$ en $E$ , el diámetro $AD$ de $\odot O_2$ interseca a $\odot O_1$ en $F$ . $CF$ interseca a $O_2$ en $H$ , $DE$ interseca a $O_1$ en $G$ . $GH\cap O_1=P$ . Demuestra que $PH=PK$ .

Encuentra todos los enteros positivos $x,y$ , que satisfacen: $$3^x+x^4=y!+2019.$$

Para conjuntos de números no vacíos $S, T$ , defina los conjuntos $S+T=\{s+t\mid s\in S, t\in T\}$ y $2S=\{2s\mid s\in S\}$ . Sea $n$ un entero positivo, y $A, B$ dos subconjuntos no vacíos de $\{1,2\ldots,n\}$ . Demuestre que existe un subconjunto $D$ de $A+B$ tal que 1) $D+D\subseteq 2(A+B)$ , 2) $|D|\geq\frac{|A|\cdot|B|}{2n}$ , donde $|X|$ es el número de elementos del conjunto finito $X$ .

Sea $f:X\rightarrow X$ , donde $X=\{1,2,\ldots ,100\}$ , una función que satisface: 1) $f(x)\neq x$ para todo $x=1,2,\ldots,100$ ; 2) para cualquier subconjunto $A$ de $X$ tal que $|A|=40$ , tenemos $A\cap f(A)\neq\emptyset$ . Encuentre el mínimo $k$ tal que para cualquier función $f$ , existe un subconjunto $B$ de $X$ , donde $|B|=k$ , tal que $B\cup f(B)=X$ .