Las secuencias $\{u_{n}\}$ y $\{v_{n}\}$ están definidas por $u_{0} =u_{1} =1$ , $u_{n}=2u_{n-1}-3u_{n-2}$ $(n\geq2)$ , $v_{0} =a, v_{1} =b , v_{2}=c$ , $v_{n}=v_{n-1}-3v_{n-2}+27v_{n-3}$ $(n\geq3)$ . Existe un entero positivo $N$ tal que cuando $n> N$ , tenemos $u_{n}\mid v_{n}$ . Pruebe que $3a=2b+c$ .

Sean $x_1, x_2, \ldots, x_{11}$ números reales no negativos tales que su suma es $1$ . Para $i = 1,2, \ldots, 11$ , sea \[ y_i = \begin{cases} x_{i} + x_{i + 1}, & i \, \, \textup{impar} ,\\ x_{i} + x_{i + 1} + x_{i + 2}, & i \, \, \textup{par} ,\end{cases} \] donde $x_{12} = x_{1}$ . Y sea $F (x_1, x_2, \ldots, x_{11}) = y_1 y_2 \ldots y_{11}$ . Demuestra que $x_6 < x_8$ cuando $F$ alcanza su máximo.

Sea $n \geqslant 3$ un entero. Dado un $n-$ polígono convexo $\mathcal{P}$ . Una $3-$ coloración de los vértices de $\mathcal{P}$ se llama agradable tal que cada punto interior de $\mathcal{P}$ está dentro o en el límite de un triángulo formado por vértices del polígono con colores distintos por pares. Determina el número de coloraciones agradables diferentes. ( Dos coloraciones son diferentes siempre que difieran en algunos vértices. )

Encuentra todos los enteros $n$ que satisfacen la siguiente propiedad. Existen conjuntos de enteros finitos no vacíos $A$ y $B$ tales que para cualquier entero $m$ , exactamente una de estas tres afirmaciones a continuación es verdadera: (a) Existe $a \in A$ tal que $m \equiv a \pmod n$ , (b) Existe $b \in B$ tal que $m \equiv b \pmod n$ , y (c) Hay $a \in A$ y $b \in B$ tales que $m \equiv a + b \pmod n$

Se eligen dos puntos $K$ y $L$ dentro del triángulo $ABC$ y se elige un punto $D$ en el lado $AB$ . Suponga que $B$ , $K$ , $L$ , $C$ son concíclicos, $\angle AKD = \angle BCK$ y $\angle ALD = \angle BCL$ . Demuestra que $AK = AL$

Dado un número primo $p\ge 5$ . Encuentra el número de restos distintos módulo $p$ del producto de tres enteros positivos consecutivos.

En el triángulo $ABC,AB>AC,I$ es el incentro, $AM$ es la mediana. La línea que cruza $I$ y es perpendicular a $BC $ intersecta a $AM$ en el punto $L$ , y la simetría de $I$ con respecto al punto $A$ es $J$ Demuestra que: $\angle ABJ= \angle LBI$

Sea $n$ un entero positivo. Hay $3n$ equipos femeninos de voleibol en el torneo, con no más de un partido entre cada dos equipos (no hay empates en voleibol). Se sabe que hay $3n^2$ partidos jugados en este torneo. Prueba: Existe un equipo con al menos $\frac{n}{4}$ victorias y $\frac{n}{4}$ derrotas

Considera todas las secuencias reales $x_0,x_1,\cdots,x_{100}$ que satisfacen los siguientes dos requisitos: (1 ) $x_0=0$ ; (2) Para cualquier entero $i,1\leq i\leq 100$ , tenemos $1\leq x_i-x_{i-1}\leq 2$ . Encuentra el mayor entero positivo $k\leq 100$ , tal que para cualquier secuencia $x_0,x_1,\cdots,x_{100}$ como esta, tenemos \[x_k+x_{k+1}+\cdots+x_{100}\geq x_0+x_1+\cdots+x_{k-1}.\]

Dado un entero positivo $ n\geq 2$, sean $ B_{1}$, $ B_{2}$, ..., $ B_{n}$ denote $ n$ subconjuntos de un conjunto $ X$ tal que cada $ B_{i}$ contiene exactamente dos elementos. Encuentre el valor mínimo de $ \left|X\right|$ tal que para cualquier elección de subconjuntos $ B_{1}$, $ B_{2}$, ..., $ B_{n}$, existe un subconjunto $ Y$ de $ X$ tal que:\n(1) $ \left|Y\right| = n$ ;\n(2) $ \left|Y \cap B_{i}\right|\leq 1$ para cada $ i\in\left\{1,2,...,n\right\}$.