Sea $k$ un entero positivo no menor que 3 y $x$ un número real. Pruebe que si $\cos (k-1)x$ y $\cos kx$ son racionales, entonces existe un entero positivo $n>k$, tal que tanto $\cos (n-1)x$ como $\cos nx$ son racionales.

$AB$ es un diámetro del círculo $O$, el punto $C$ se encuentra en la línea $AB$ producida. Una línea que pasa por $C$ se interseca con el círculo $O$ en los puntos $D$ y $E$. $OF$ es un diámetro de la circunferencia circunscrita $O_{1}$ de $\triangle BOD$. Una $CF$ y extienda, cortando el círculo $O_{1}$ en $G$. Pruebe que los puntos $O,A,E,G$ son concíclicos.

Sea $S=\{n|n-1,n,n+1$ pueden ser expresados como la suma del cuadrado de dos enteros positivos . $\}$. Pruebe que si $n$ está en $S$, $n^{2}$ también está en $S$.

Asumiendo que el entero positivo $a$ no es un cuadrado perfecto, pruebe que para cualquier entero positivo n, la suma ${S_{n}=\sum_{i=1}^{n}\{a^{\frac{1}{2}}\}^{i}}$ es irracional.

En $\triangle PBC$, $\angle PBC=60^{o}$, la tangente en el punto $P$ a la circunferencia circunscrita $g$ de $\triangle PBC$ se interseca con la línea $CB$ en $A$. Los puntos $D$ y $E$ se encuentran en el segmento de línea $PA$ y $g$ respectivamente, satisfaciendo $\angle DBE=90^{o}$, $PD=PE$. $BE$ y $PC$ se encuentran en $F$. Se sabe que las líneas $AF,BP,CD$ son concurrentes.\na) Pruebe que $BF$ biseca $\angle PBC$\nb) Encuentre $\tan \angle PCB$

Encuentre el menor número real positivo $k$ que satisfaga la siguiente condición: para cualesquiera cuatro números reales DISTINTOS $a,b,c,d$, que no sean menores que $k$, existe una permutación $(p,q,r,s)$ de $(a,b,c,d)$, tal que la ecuación $(x^{2}+px+q)(x^{2}+rx+s)=0$ tiene cuatro raíces reales diferentes.

Sea $n$ un entero positivo con $n \geq 2$, y $0<a_{1}, a_{2},...,a_{n}< 1$. Encuentre el valor máximo de la suma $\sum_{i=1}^{n}(a_{i}(1-a_{i+1}))^{\frac{1}{6}}$ donde $a_{n+1}=a_{1}$.

Sea $G$ un grafo dirigido completo con $100$ vértices tal que para cualesquiera dos vértices $x,y$ se puede encontrar un camino dirigido de $x$ a $y$ . a) Demuestre que para cualquier $G$ , se puede encontrar un $m$ tal que para cualesquiera dos vértices $x,y$ se puede encontrar un camino dirigido de longitud $m$ de $x$ a $y$ (Los vértices se pueden repetir en el camino) b) Para cualquier grafo $G$ con las propiedades anteriores, defina $m(G)$ como el $m$ más pequeño posible como se define en la parte a). Encuentre el valor mínimo de $m(G)$ sobre todos los posibles $G$ ' s.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Demuestre que existe un cuadrado $A'B'C'D'$ (Los vértices pueden estar ordenados en sentido horario o antihorario) tal que $A \not = A', B \not = B', C \not = C', D \not = D'$ y $AA',BB',CC',DD'$ son todos concurrentes.

Sea $n \geq 2$ un entero positivo y defina $k$ como el número de primos $\leq n$ . Sea $A$ un subconjunto de $S = \{2,...,n\}$ tal que $|A| \leq k$ y no hay dos elementos en $A$ que se dividan entre sí. Demuestre que se puede encontrar un conjunto $B$ tal que $|B| = k$ , $A \subseteq B \subseteq S$ y no hay dos elementos en $B$ que se dividan entre sí.