Como se muestra en la figura , el círculo inscrito de $ABC$ se interseca con $BC$ , $CA$ , $AB$ en los puntos $D$ , $E$ , $F$ , respectivamente, y $P$ es un punto dentro del círculo inscrito. Los segmentos de línea $PA$ , $PB$ y $PC$ se intersecan respectivamente con el círculo inscrito en los puntos $X$ , $Y$ y $Z$ . Pruebe que las tres líneas $XD$ , $YE$ y $ZF$ tienen un punto en común.

Se sabe que el término general $\{a_n\}$ de la secuencia es $a_n =(\sqrt3 +\sqrt2)^{2n}$ ( $n \in N*$ ) , sea $b_n= a_n +\frac{1}{a_n}$ . (1) Encuentre la relación de recurrencia entre $b_{n+2}$ , $b_{n+1}$ , $b_n$ . (2) Encuentre el dígito de las unidades de la parte entera de $a_{2011}$ .

Cuando los cuadrados unitarios en las cuatro esquinas se eliminan de tres por tres cuadrados, la forma resultante se llama cruz. ¿Cuál es el número máximo de cruces no superpuestas colocadas dentro del límite de un tablero de ajedrez de $ 10\times 11$? (Cada cruz cubre exactamente cinco cuadrados unitarios en el tablero.)

Sean $ p$ y $ q$ dos enteros positivos coprimos, y $ n$ un entero no negativo. Determine la cantidad de enteros que se pueden escribir en la forma $ ip + jq$ , donde $ i$ y $ j$ son enteros no negativos con $ i + j \leq n$ .

Dado un triángulo acutángulo $ABC$ con $O$ como su circuncentro. La línea $AO$ intersecta a $BC$ en $D$ . Los puntos $E$ , $F$ están en $AB$ , $AC$ respectivamente tales que $A$ , $E$ , $D$ , $F$ son concíclicos. Demuestre que la longitud de la proyección del segmento de línea $EF$ en el lado $BC$ no depende de las posiciones de $E$ y $F$ .

Sean $ u, v, w$ números reales positivos tales que $ u\sqrt {vw} + v\sqrt {wu} + w\sqrt {uv} \geq 1$ . Encuentre el valor mínimo de $ u + v + w$ .

Una baraja de $ 32$ cartas tiene $ 2$ comodines diferentes, cada uno de los cuales está numerado $ 0$ . Hay $ 10$ cartas rojas numeradas del $ 1$ al $ 10$ y de manera similar para las cartas azules y verdes. Se elige una cantidad de cartas de la baraja. Si una carta en la mano está numerada $ k$ , entonces el valor de la carta es $ 2^k$ , y el valor de la mano es la suma de los valores de las cartas en la mano. Determine el número de manos que tienen el valor $ 2004$ .

Sea $ ABC$ un triángulo obtuso inscrito en un círculo de radio $ 1$ . Demuestre que $ \triangle ABC$ puede ser cubierto por un triángulo rectángulo isósceles con hipotenusa de longitud $ \sqrt {2} + 1$ .

Sean $ a, b, c$ números reales positivos. Encuentre el valor mínimo de \[ \frac {a + 3c}{a + 2b + c} + \frac {4b}{a + b + 2c} - \frac {8c}{a + b + 3c}.\]

Decimos que un entero positivo $ n$ es bueno si existe una permutación $ a_1, a_2, \ldots, a_n$ de $ 1, 2, \ldots, n$ tal que $ k + a_k$ es un cuadrado perfecto para todo $ 1\le k\le n$ . Determine todos los números buenos en el conjunto $ \{11, 13, 15, 17, 19\}$ .