Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros positivos. Sea $n\in \mathbb{N}$ y sea $d(n)$ el número de divisores de $n$ . Sea $\varphi(n)$ la función Euler-totient (el número de enteros positivos coprimos con $n$ , menores que $n$ ) . Encuentra todos los enteros no negativos $c$ tales que existe $n\in\mathbb{N}$ tal que \[ d(n) + \varphi(n) = n+c , \] y para tal $c$ encuentra todos los valores de $n$ que satisfacen la relación anterior.

Encuentra todos los reales $k$ tales que \[ a^3 + b^3 + c^3 + d^3 + 1\geq k(a + b + c + d)\] se cumple para todos $ a,b,c,d\geq - 1$ .

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo, sean $I_1$ e $I_2$ los incentros de los triángulos $ABC$ y $DBC$ respectivamente. La línea $I_1I_2$ interseca las líneas $AB$ y $DC$ en los puntos $E$ y $F$ respectivamente. Dado que $AB$ y $CD$ se intersecan en $P$ , y $PE=PF$ , demuestre que los puntos $A$ , $B$ , $C$ , $D$ se encuentran en un círculo.

Encuentra todos los enteros $n$ , tales que el siguiente número sea un cuadrado perfecto \[N= n^4 + 6n^3 + 11n^2 +3n+31. \]

Se sabe que $n$ es un entero positivo, y el número real $x$ satisface $$|1-|2-...|(n-1)-|n-x||...||=x.$$ Encuentre el valor de $x$ .

En $\triangle ABC$ , entonces \[\frac{1}{1+\cos^2 A+\cos^2 B}+\frac{1}{1+\cos^2 B+\cos^2 C}+\frac{1}{1+\cos^2 C+\cos^2 A}\le 2\]

Como se muestra en la figura, desde un punto $P$ exterior al círculo $\odot O$ , dibujamos la tangente $PA$ y la secante $PBC$ . Sea $AD \perp PO$ Pruebe que $AC$ es tangente a la circunferencia circunscrita de $\vartriangle ABD$ .

Si los enteros positivos $a, b, c$ satisfacen $a^2+b^2=c^2$ , entonces $(a, b, c)$ se llama una terna pitagórica. Encuentre todas las ternas pitagóricas que contienen $30$ .

Asuma que los $n$ conjuntos $A_1, A_2..., A_n$ son una partición del conjunto $A=\{1,2,...,29\}$ , y la suma de cualquier elemento en $A_i$ , $(i=1,2,...,n)$ no es igual a $30$ . Encuentre el valor posible más pequeño de $n$ .

Encuentre todas las soluciones enteras positivas $(x, y, z)$ de la ecuación $1 + 2^x \cdot 7^y=z^2$ .