Todos los cuadrados de un tablero de $2024 \times 2024$ están coloreados de blanco. En un movimiento, Mohit puede seleccionar una fila o columna donde cada cuadrado es blanco, escoger exactamente $1000$ cuadrados en esa fila o columna, y colorearlos todos de rojo. Encuentra el número máximo de cuadrados que Mohit puede colorear en un número finito de movimientos.

En el triángulo $ABC$ con $CA=CB$ , el punto $E$ se encuentra en la circunferencia circunscrita de $ABC$ tal que $\angle ECB=90^{\circ}$ . La línea que pasa por $E$ paralela a $CB$ interseca a $CA$ en $F$ y a $AB$ en $G$ . Demuestra que el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo $EGB$ se encuentra en la circunferencia circunscrita del triángulo $ECF$ .

Sea $f : \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}$ una función tal que (a) $ f(m) < f(n)$ siempre que $m < n$ . (b) $f(2n) = f(n) + n$ para todo $n \in \mathbb{N}$ . (c) $n$ es primo siempre que $f(n)$ es primo. Encuentra $$\sum_{n=1}^{2022} f(n).$$

Considera una cuadrícula rectangular de puntos consistiendo de $4$ filas y $84$ columnas. Cada punto es coloreado con uno de los colores rojo, azul o verde. Demuestra que no importa de qué manera se haga la coloración, siempre existen cuatro puntos del mismo color que forman los vértices de un rectángulo. Una ilustración se muestra en la figura de abajo.

Podemos encontrar un subconjunto $A$ de $\mathbb{N}$ conteniendo exactamente cinco números tales que la suma de cualesquiera tres elementos de $A$ es un número primo? Justifica tu respuesta.

Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes enteros positivos y $P(0) > 1$ . El producto de todos los coeficientes es $47$ y el residuo cuando $P(x)$ es dividido por $(x - 3)$ es $9887$ . Cuál es el grado de $P(x)$ ?

La siguiente suma de tres números de cuatro dígitos es divisible por $75$ , $7a71 + 73b7 + c232$ , donde $a, b, c$ son dígitos decimales. Encuentra las condiciones necesarias en $a, b, c$ .

Calcula la expresión dada $$\sum_{k=0}^{n} \frac{2^k}{3^{2^k}+1}$$

Una partícula está en el origen del plano cartesiano. En cada paso la partícula puede ir $1$ unidad en cualquiera de las direcciones, izquierda, derecha, arriba o abajo. Encuentra el número de maneras de ir desde $(0, 0)$ a $(0, 2)$ en $6$ pasos. (Nota: Dos caminos donde un conjunto idéntico de puntos es recorrido son considerados diferentes si el orden del recorrido de cada punto es diferente en ambos caminos.)

Sean $a, b, c$ los lados de un triángulo tales que $\frac{a^2+b^2+c^2}{ ab+bc+ca}$ es un entero. Encuentra la relación entre $a, b, c$ .