$N$ es un número de $50$ dígitos (en representación decimal). Todos los dígitos excepto el $26$-ésimo dígito (desde la izquierda) son $1$ . Si $N$ es divisible por $13$ , encuentra su $26$-ésimo dígito.

$P$ es cualquier punto dentro de un triángulo $ABC$ . El perímetro del triángulo $AB + BC + Ca = 2s$ . Demuestra que $s < AP +BP +CP < 2s$ .

Encuentra el residuo cuando $2^{1990}$ se divide por $1990.$

Una hoja cuadrada de papel $ABCD$ se dobla de tal manera que $B$ cae en el punto medio de $M$ de $CD$ . Demuestra que el pliegue dividirá a $BC$ en la razón $5 : 3$ .

Para todos los números reales positivos $ a,b,c$ , demuestra que \[ \frac {a}{b + c} + \frac {b}{c + a} + \frac {c}{a + b} \geq \frac {3}{2}.\]

Dos cajas contienen entre ellas 65 bolas de varios tamaños diferentes. Cada bola es blanca, negra, roja o amarilla. Si tomas cinco bolas del mismo color, al menos dos de ellas siempre serán del mismo tamaño (radio). Demuestra que hay al menos tres bolas que están en la misma caja, tienen el mismo color y tienen el mismo tamaño (radio).

Para cada entero positivo $n \ge 3$ , define $A_n$ y $B_n$ como \[A_n = \sqrt{n^2 + 1} + \sqrt{n^2 + 3} + \cdots + \sqrt{n^2+2n-1}\] \[B_n = \sqrt{n^2 + 2} + \sqrt{n^2 + 4} + \cdots + \sqrt{n^2 + 2n}.\] Determina todos los enteros positivos $n\ge 3$ para los cuales $\lfloor A_n \rfloor = \lfloor B_n \rfloor$ . Nota. Para cualquier número real $x$ , $\lfloor x\rfloor$ denota el entero más grande $N\le x$ .

Sean los puntos $A_1$ , $A_2$ y $A_3$ que se encuentran en el círculo $\Gamma$ en un orden antihorario, y sea $P$ un punto en el mismo plano. Para $i \in \{1,2,3\}$ , sea $\tau_i$ denote la rotación antihoraria del plano centrada en $A_i$ , donde el ángulo de rotación es igual al ángulo en el vértice $A_i$ en $\triangle A_1A_2A_3$ . Además, define $P_i$ como el punto $\tau_{i+2}(\tau_{i}(\tau_{i+1}(P)))$ , donde los índices se toman módulo $3$ (i.e., $\tau_4 = \tau_1$ y $\tau_5 = \tau_2$ ) . Demuestra que el radio de la circunferencia circunscrita de $\triangle P_1P_2P_3$ es a lo sumo el radio de $\Gamma$ .

Un conjunto finito $\mathcal{S}$ de enteros positivos se llama cardinal si $\mathcal{S}$ contiene el entero $|\mathcal{S}|$ donde $|\mathcal{S}|$ denota el número de elementos distintos en $\mathcal{S}$ . Sea $f$ una función del conjunto de enteros positivos a sí mismo tal que para cualquier conjunto cardinal $\mathcal{S}$ , el conjunto $f(\mathcal{S})$ también es cardinal. Aquí $f(\mathcal{S})$ denota el conjunto de todos los enteros que pueden ser expresados como $f(a)$ donde $a \in \mathcal{S}$ . Encuentra todos los valores posibles de $f(2024)$

Sea $p$ un primo impar y $a,b,c$ enteros tales que los enteros $$a^{2023}+b^{2023},\quad b^{2024}+c^{2024},\quad a^{2025}+c^{2025}$$ son divisibles por $p$ . Demuestra que $p$ divide a cada uno de $a,b,c$ .