$ABCD$ es un cuadrilátero cíclico. Los puntos medios de las diagonales $AC$ y $BD$ son respectivamente $P$ y $Q$ . Si $BD$ biseca $\angle AQC$ , entonces demuestre que $AC$ bisecará $\angle BPD$ .

Sea $n$ un entero positivo; y $S(n)$ denote la suma de todos los dígitos en la representación decimal de $n$ . Un entero positivo obtenido al eliminar uno o varios dígitos del extremo derecho de la representación decimal de $n$ se llama truncamiento de $n$ . La suma de todos los truncamientos de $n$ se denota como $T(n)$ . Demuestra que $S(n)+9T(n)=n$

La suma de los cuadrados de cuatro números reales $x,y,z,u$ es $1$ . Encuentra el valor mínimo de la expresión $E=(x-y)(y-z)(z-u)(u-x)$ . Encuentra también los valores mínimos de $x$ , $y$ , $z$ y $u$ cuando ocurre este mínimo.

$a,b,c$ son números reales positivos que satisfacen $\frac{2}{5} \leq c \leq \min{a,b}$ ; $ac \geq \frac{4}{15}$ y $bc \geq \frac{1}{5}$ Encuentra el valor máximo de $\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}\right)$ .

Hay $n$ (un número par) bolsas. Cada bolsa contiene al menos una manzana y como máximo $n$ manzanas. El número total de manzanas es $2n$ . Demuestra que siempre es posible dividir las bolsas en dos partes de tal manera que el número de manzanas en cada parte sea $n$ .

Sean $a_i (i=1,2,3,4,5,6)$ números reales. El polinomio $f(x)=a_1+a_2x+a_3x^2+a_4x^3+a_5x^4+a_6a^5+7x^6-4x^7+x^8$ puede factorizarse en factores lineales $x-x_i$ donde $i \in {1,2,3,...,8}$ . Encuentra los valores posibles de $a_1$ .

$PQR$ es un triángulo escaleno acutángulo. La altitud $PL$ y la bisectriz $RK$ de $\angle QRP$ se intersecan en $H$ ( $L$ en $QR$ y $K$ en $PQ$ ) . $KM$ es la altitud del triángulo $PKR$ ; se interseca con $PL$ en $N$ . La circunferencia circunscrita de $\triangle NKR$ se interseca con $QR$ en $S$ distinto de $Q$ . Demuestra que $SHK$ es un triángulo isósceles.

Encuentra enteros $m,n$ tales que la suma de sus cubos es igual al cuadrado de su suma.

Si el circuncentro y el centroide de un triángulo coinciden, demuestra que debe ser equilátero.

Un hombre del censo de servicio visitó una casa en la que las damas internas se negaron a revelar sus edades individuales, pero dijeron 'No nos importa darte la suma de las edades de cualquier dos damas que puedas elegir'. Entonces, el hombre del censo dijo: 'En ese caso, por favor, denme la suma de las edades de cada par posible de ustedes'. Dieron las sumas como: 30, 33, 41, 58, 66, 69. El hombre del censo tomó estas cifras y felizmente se fue. ¿Cómo calculó las edades individuales?