Determina todos los números naturales $n$ tales que $21$ divide a $2^{2^{n}}+2^n+1.$

Demuestra que para cada entero positivo $n$ y un número real no negativo $a$ , se cumple la siguiente desigualdad: $$n(n+1)a+2n \geqslant 4\sqrt{a}(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\dots+\sqrt{n}).$$

Resuelve el sistema de ecuaciones $$x+y+z=2;$$ $$(x+y)(y+z)+(y+z)(z+x)+(z+x)(x+y)=1;$$ $$x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)=-6.$$

En una semicircunferencia con diámetro $AB$ y centro $S$ , se dan los puntos $C$ y $D$ tales que el punto $C$ pertenece al arco $AD$ . Suponga que $\angle CSD = 120^\circ$ . Sea $E$ el punto de intersección de las líneas rectas $AC$ y $BD$ y $F$ el punto de intersección de las líneas rectas $AD$ y $BC$ . Demuestra que $EF=\sqrt{3}AB$ .

Encuentra el número de todos los triángulos isósceles obtusángulos con lados enteros y perímetro $ 2008$ .

Se dice que tres números reales no nulos $ a,b,c$ están en progresión armónica si $ \frac {1}{a} + \frac {1}{c} = \frac {2}{b}$ . Encuentra todas las progresiones armónicas de tres términos $ a,b,c$ de enteros positivos estrictamente crecientes en las que $ a = 20$ y $ b$ divide a $ c$ .

Encuentra el número de todos los números naturales de $ 6$ dígitos tales que la suma de sus dígitos es $ 10$ y cada uno de los dígitos $ 0,1,2,3$ ocurre al menos una vez en ellos.

Suponga que $ a$ y $ b$ son números reales tales que las raíces de la ecuación cúbica $ ax^3-x^2+bx-1$ son números reales positivos. Demuestra que: \[ (i)\ 0<3ab\le 1\text{ y }(i)\ b\ge \sqrt{3} \]

Demuestra que existen dos secuencias infinitas $ \{a_n\}_{n\ge 1}$ y $ \{b_n\}_{n\ge 1}$ de enteros positivos tales que las siguientes condiciones se cumplen simultáneamente: $ (i)$ $ 0 < a_1 < a_2 < a_3 < \cdots$ ; $ (ii)$ $ a_n < b_n < a_n^2$ , para todo $ n\ge 1$ ; $ (iii)$ $ a_n - 1$ divide a $ b_n - 1$ , para todo $ n\ge 1$ $ (iv)$ $ a_n^2 - 1$ divide a $ b_n^2 - 1$ , para todo $ n\ge 1$

Sea $ ABC$ un triángulo acutángulo; sean $ D,F$ los puntos medios de $ BC,AB$ respectivamente. Sea la perpendicular de $ F$ a $ AC$ y la perpendicular de $ B$ a $ BC$ se encuentran en $ N$ : Demuestra que $ ND$ es el circunradio de $ ABC$.