Demuestre que no existen números reales no nulos $a,b,c$ tales que las siguientes afirmaciones se cumplan simultáneamente:\n$\bullet$ la ecuación $ax^2 + bx + c = 0$ tiene dos raíces distintas $x_1,x_2$ ;\n$\bullet$ la ecuación $bx^2 + cx + a = 0$ tiene dos raíces distintas $x_2,x_3$ ;\n$\bullet$ la ecuación $cx^2 + ax + b = 0$ tiene dos raíces distintas $x_3,x_1$ .\n(Note que $x_1,x_2,x_3$ pueden ser números reales o complejos.)

Encuentre todos los enteros positivos $x,y$ tales que $202x + 4x^2 = y^2$ .

Sea $n \geq 2$ un entero positivo. Llame a una secuencia $a_1, a_2, \cdots , a_k$ de enteros una $n$ -cadena si $1 = a_1 < a_2 < \cdots < a_k =n$ , $a_i$ divide a $a_{i+1}$ para todo $i$ , $1 \leq i \leq k-1$ . Sea $f(n)$ el número de $n$ -cadenas donde $n \geq 2$ . Por ejemplo, $f(4) = 2$ corresponde a las $4$ - cadenas $\{1,4\}$ y $\{1,2,4\}$ . Pruebe que $f(2^m \cdot 3) = 2^{m-1} (m+2)$ para todo entero positivo $m$ .

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico tal que $AB \parallel CD$ . Sea $O$ el circuncentro de $ABCD$ y $L$ el punto en $AD$ tal que $OL$ es perpendicular a $AD$ . Pruebe que \[ OB\cdot(AB+CD) = OL\cdot(AC + BD).\]

Sean $a_1,a_2,a_3,a_4$ números reales tales que $a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + a_4^2 = 1$ . Demuestre que existen $i,j$ con $ 1 \leq i < j \leq 4$ , tales que $(a_i - a_j)^2 \leq \frac{1}{5}$ .

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB = AC$ . Sea $D$ el punto en $BC$ tal que $AD$ es perpendicular a $BC$ . Sean $O,H,G$ el circuncentro, ortocentro y centroide del triángulo $ABC$ respectivamente. Suponga que $2 \cdot OD = 23 \cdot HD$ . Demuestre que $G$ se encuentra en el incírculo del triángulo $ABC$ .

Para un entero positivo $n$ , sea $R(n)$ la suma de los residuos cuando $n$ se divide por $1,2, \cdots , n$ . Por ejemplo, $R(4) = 0 + 0 + 1 + 0 = 1,$ $R(7) = 0 + 1 + 1 + 3 + 2 + 1 + 0 = 8$ . Encuentre todos los enteros positivos tales que $R(n) = n-1$ .

Sea $n>1$ un entero positivo. Llame a una reordenación $a_1,a_2, \cdots , a_n$ de $1,2, \cdots , n$ 'agradable' si para cada $k = 2,3, \cdots , n$ , tenemos que $a_1 + a_2 + \cdots + a_k$ no es divisible por $k$ . \n(a) Si $n>1$ es impar, demuestre que no existe una disposición 'agradable' de $1,2, \cdots , n$ . \n(b) Si $n$ es par, encuentre una disposición 'agradable' de $1,2, \cdots , n$ .

Sea $BCDK$ un cuadrilátero convexo tal que $BC=BK$ y $DC=DK$ . $A$ y $E$ son puntos tales que $ABCDE$ es un pentágono convexo tal que $AB=BC$ y $DE=DC$ y $K$ se encuentra en el interior del pentágono $ABCDE$ . Si $\angle ABC=120^{\circ}$ y $\angle CDE=60^{\circ}$ y $BD=2$ entonces determina el área del pentágono $ABCDE$ .

Sea $N$ un entero positivo de diez dígitos divisible por $7$ . Suponga que se intercambian el primer y el último dígito de $N$ y el número resultante (no necesariamente de diez dígitos) también es divisible por $7$ entonces decimos que $N$ es un entero bueno. ¿Cuántos enteros buenos de diez dígitos hay?