Hay un paquete de 27 cartas distintas, y cada carta tiene tres valores en ella. El primer valor es una forma de $\{\Delta,\square,\odot\}$; el segundo valor es una letra de $\{A,B,C\}$; y el tercer valor es un número de $\{1,2,3\}$. ¿De cuántas maneras podemos elegir un conjunto no ordenado de 3 cartas del paquete, de modo que no haya dos de las cartas elegidas que tengan dos valores coincidentes? Por ejemplo, podemos elegir $\{\Delta A1,\Delta B2,\odot C3\}$ Pero no podemos elegir $\{\Delta A1,\square B2,\Delta C1\}$

Sean $a_1,a_2,\cdots,a_6,a_7$ siete enteros positivos. Sea $S$ el conjunto de todos los números de la forma $a_i^2+a_j^2$ donde $1\leq i<j\leq 7$ . Demuestre que existen dos elementos de $S$ que tienen el mismo resto al dividir por $36$.

Encuentre todas las ternas de números reales no negativos $(a,b,c)$ que satisfacen el siguiente conjunto de ecuaciones $$a^2+ab=c$$ $$b^2+bc=a$$ $$c^2+ca=b$$

Dado un círculo $\tau$ , sea $P$ un punto en su interior, y sea $l$ una línea que pasa por $P$. Construya con prueba usando regla y compás, todos los círculos que pasan por $P$, son tangentes a $\tau$ y cuyo centro se encuentra en la línea $l$.

Para cada $n\in\mathbb{N}$ sea $d_n$ denote el máximo común divisor de $n$ y $(2019-n)$ . Encuentre el valor de $d_1+d_2+\cdots d_{2018}+d_{2019}$

Suponga que se dan $91$ enteros positivos distintos mayores que $1$ tales que hay al menos $456$ pares entre ellos que son relativamente primos. Demuestre que se pueden encontrar cuatro enteros $a, b, c, d$ entre ellos tales que $\gcd(a,b)=\gcd(b,c)=\gcd(c,d)=\gcd(d,a)=1.$

En un triángulo acutángulo $ABC$, sea $H$ el ortocentro, y sean $D,E,F$ los pies de las alturas desde $A,B,C$ a los lados opuestos, respectivamente. Sean $L,M,N$ los puntos medios de los segmentos $AH, EF, BC$ respectivamente. Sean $X,Y$ los pies de las alturas desde $L,N$ sobre la línea $DF$ respectivamente. Demuestre que $XM$ es perpendicular a $MY$.

Considere la siguiente matriz de $3\times 2$ formada usando los números $1,2,3,4,5,6$, $$\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}\\a_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1& 6\\2& 5\\ 3& 4\end{pmatrix}.$$ Observe que todas las sumas de las filas son iguales, pero la suma del cuadrado de los cuadrados no es la misma para cada fila. Extienda la matriz anterior a una matriz de $3\times k$ $(a_{ij})_{3\times k}$ para una $k$ adecuada, agregando más columnas, usando los números $7,8,9,\dots ,3k$ tales que $$\sum_{j=1}^k a_{1j}=\sum_{j=1}^k a_{2j}=\sum_{j=1}^k a_{3j}~~\text{and}~~\sum_{j=1}^k (a_{1j})^2=\sum_{j=1}^k (a_{2j})^2=\sum_{j=1}^k (a_{3j})^2$$

Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $a+b+c=1$. Demuestre que $$\frac{a}{a^2+b^3+c^3}+\frac{b}{b^2+a^3+c^3}+\frac{c}{c^2+a^3+b^3}\leq\frac{1}{5abc}$$

Sea $ABC$ un triángulo con circuncírculo $\Omega$ y sea $G$ el centroide del triángulo $ABC$. Extienda $AG, BG$ y $CG$ para que se encuentren con el círculo $\Omega$ nuevamente en $A_1, B_1$ y $C_1$. Suponga que $\angle BAC = \angle A_1 B_1 C_1, \angle ABC = \angle A_1 C_1 B_1$ y $\angle ACB = B_1 A_1 C_1$. Demuestre que $ABC$ y $A_1 B_1 C_1$ son triángulos equiláteros.