Sea $P$ un punto interior de un triángulo $ABC$ cuyos lados miden 26, 65, 78. La línea que pasa por $P$ paralela a $BC$ se encuentra con $AB$ en $K$ y $AC$ en $L$. La línea que pasa por $P$ paralela a $CA$ se encuentra con $BC$ en $M$ y $BA$ en $N$. La línea que pasa por $P$ paralela a $AB$ se encuentra con $CA$ en $S$ y $CB$ en $T$. Si $KL, MN, ST$ tienen la misma longitud, encuentre esta longitud común.

¿Cuál es el número de triples (a, b, c) de enteros positivos tales que (i) a < b < c < 10 y (ii) a, b, c, 10 forman los lados de un cuadrilátero?

Suponga que $1, 2, 3$ son las raíces de la ecuación $x^4 + ax^2 + bx = c$. Encuentra el valor de $c$.

Si los números reales $x, y, z$ son tales que $x^2 + 4y^2 + 16z^2 = 48$ y $xy + 4yz + 2zx = 24$, ¿cuál es el valor de $x^2 + y^2 + z^2$?

Suponga que las alturas de un triángulo son $10, 12$ y $15$. ¿Cuál es su semiperímetro?

Cinco números distintos de 2 dígitos están en una progresión geométrica. Encuentra el término medio.

Los enteros $1, 2, 3, ... ,n$ , donde $n > 2$ , están escritos en una pizarra. Dos números $m, k$ tales que $1 < m < n, 1 < k < n$ son eliminados y el promedio de los números restantes resulta ser $17$. ¿Cuál es la suma máxima de los dos números eliminados?

Suponga que $x$ es un número real positivo tal que $\{x\}, [x]$ y $x$ están en una progresión geométrica. Encuentra el entero positivo más pequeño $n$ tal que $x^n > 100$. (Aquí $[x]$ denota la parte entera de $x$ y $\{x\} = x - [x]$ .)

En un rectángulo $ABCD, E$ es el punto medio de $AB, F$ es un punto en $AC$ tal que $BF$ es perpendicular a $AC$ , y $FE$ perpendicular a $BD$. Suponga que $BC = 8\sqrt3$. Encuentra $AB$.

En una clase, el número total de niños y niñas está en la proporción $4 : 3$. Un día se descubrió que $8$ niños y $14$ niñas estaban ausentes de la clase, y que el número de niños era el cuadrado del número de niñas. ¿Cuál es el número total de estudiantes en la clase?