Elige arbitrariamente $n$ vértices de un $2n-$ g on regular y coloréalos de rojo. Los vértices restantes están coloreados de azul. Arreglamos todas las distancias rojo-rojo en una secuencia no decreciente y hacemos lo mismo con las distancias azul-azul. Demuestra que las dos secuencias así obtenidas son idénticas.

Dado un entero $n\ge 2$, demuestra que \[\lfloor \sqrt n \rfloor + \lfloor \sqrt[3]n\rfloor + \cdots +\lfloor \sqrt[n]n\rfloor = \lfloor \log_2n\rfloor + \lfloor \log_3n\rfloor + \cdots +\lfloor \log_nn\rfloor\] .

Sean $a_1, a_2,\cdots ,a_n$ enteros positivos y sea $a$ un entero mayor que $1$ y divisible por el producto $a_1a_2\cdots a_n$. Demuestra que $a^{n+1} + a-1$ no es divisible por el producto $(a + a_1 - 1)(a + a_2 - 1) \cdots (a + a_n - 1)$.

Dado un triángulo $ABC$, las bisectrices internas a través de $A$ y $B$ se encuentran con los lados opuestos en $D$ y $E$, respectivamente. Demuestra que \[DE \le (3 - 2\sqrt2)(AB + BC + CA)\] y determina los casos de igualdad.

Considere las áreas de los cuatro triángulos obtenidos al dibujar las diagonales $AC$ y $BD$ de un trapecio $ABCD$. Se calculan los productos de estas áreas, tomados de dos en dos. Si entre los seis productos así obtenidos, dos productos son 1296 y 576, determine la raíz cuadrada del área máxima posible del trapecio al entero más cercano.

Para cada entero positivo $n$, considere el máximo común divisor $h_n$ de los dos números $n!+1$ y $(n+1)!$. Para $n<100$, encuentre el valor más grande de $h_n$.

Sean $p,q$ números primos tales que $n^{3pq}-n$ es múltiplo de $3pq$ para todos los enteros positivos $n$. Encuentre el menor valor posible de $p+q$.

Sea $\Omega_1$ un círculo con centro $O$ y sea $AB$ un diámetro de $\Omega_1$. Sea $P$ un punto en el segmento $OB$ diferente de $O$. Suponga que otro círculo $\Omega_2$ con centro $P$ se encuentra en el interior de $\Omega_1$. Se trazan tangentes desde $A$ y $B$ al círculo $\Omega_2$ intersecando $\Omega_1$ nuevamente en $A_1$ y $B_1$ respectivamente, tales que $A_1$ y $B_1$ están en los lados opuestos de $AB$. Dado que $A_1 B = 5, AB_1 = 15$ y $OP = 10$, encuentre el radio de $\Omega_1$.

Sean $AB$ y $CD$ dos cuerdas paralelas en un círculo con radio $5$ tales que el centro $O$ se encuentra entre estas cuerdas. Suponga que $AB = 6, CD = 8$. Suponga además que el área de la parte del círculo que se encuentra entre las cuerdas $AB$ y $CD$ es $(m\pi + n) / k$, donde $m, n, k$ son enteros positivos con $mcd(m, n, k) = 1$. ¿Cuál es el valor de $m + n + k$?

Sea $ABCD$ un rectángulo y sean $E$ y $F$ puntos en $CD$ y $BC$ respectivamente tales que el área $(ADE) = 16$, el área $(CEF) = 9$ y el área $(ABF) = 25$. ¿Cuál es el área del triángulo $AEF$?