Sean $A_1,A_2,\cdots , A_n$ progresiones aritméticas de enteros, cada una de $k$ términos, tales que dos cualesquiera de estas progresiones aritméticas tienen al menos dos elementos comunes. Supongamos que $b$ de estas progresiones aritméticas tienen diferencia común $d_1$ y las progresiones aritméticas restantes tienen diferencia común $d_2$ donde $0<b<n$. Demuestra que \n\[b \le 2\left(k-\frac{d_2}{gcd(d_1,d_2)}\right)-1.\]

Los divisores positivos $d_1,d_2,\cdots,d_k$ de un entero positivo $n$ están ordenados \n\[1=d_1<d_2<\cdots<d_k=n\] \nSupongamos que $d_7^2+d_{15}^2=d_{16}^2$. Encuentra todos los valores posibles de $d_{17}$.

Sea $ABC$ un triángulo con inradio $r$, circunradio $R$, y con lados $a=BC,b=CA,c=AB$. Demuestra que \n\[\frac{R}{2r} \ge \left(\frac{64a^2b^2c^2}{(4a^2-(b-c)^2)(4b^2-(c-a)^2)(4c^2-(a-b)^2)}\right)^2.\]

Sea $ABC$ un triángulo equilátero, y sean $D,E$ y $F$ puntos en $BC,BA$ y $AB$ respectivamente. Sea $\angle BAD= \alpha, \angle CBE=\beta$ y $\angle ACF =\gamma$ . Demuestra que si $\alpha+\beta+\gamma \geq 120^\circ$ , entonces la unión de las regiones triangulares $BAD,CBE,ACF$ cubre el triángulo $ABC$.

Sea $p$ un número primo y sea $X$ un conjunto finito que contiene al menos $p$ elementos. Una colección de subconjuntos disjuntos de $p$ elementos de $X$ se llama una $p$ - familia. (En particular, la colección vacía es una $p$ - familia.) Sea $A$ (respectivamente, $B$ ) denota el número de $p$ - familias que tienen un número par (respectivamente, impar) de subconjuntos de $p$ - elementos de $X$ . Demuestra que $A$ y $B$ difieren en un múltiplo de $p$.

Sea $ABC$ un triángulo y sea $P$ un punto en el plano de $ABC$ que está dentro de la región del ángulo $BAC$ pero fuera del triángulo $ABC$ . \n(a) Demuestra que dos cualesquiera de las siguientes afirmaciones implican la tercera. \n(i) el circuncentro del triángulo $PBC$ se encuentra en el rayo $\stackrel{\to}{PA}$ . \n(ii) el circuncentro del triángulo $CPA$ se encuentra en el rayo $\stackrel{\to}{PB}$ . \n(iii) el circuncentro del triángulo $APB$ se encuentra en el rayo $\stackrel{\to}{PC}$ . \n(b) Demuestra que si las condiciones en (a) se cumplen, entonces los circuncentros de los triángulos $BPC,CPA$ y $APB$ se encuentran en la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$.

Hay $n$ marcadores, cada uno con un lado blanco y el otro lado negro. Al principio, estos $n$ marcadores están alineados en una fila de modo que sus lados blancos están todos hacia arriba. En cada paso, si es posible, elegimos un marcador cuyo lado blanco esté hacia arriba (pero no uno de los marcadores más externos), lo quitamos, e invertimos el marcador más cercano a la izquierda del mismo y también invertimos el marcador más cercano a la derecha del mismo. Demuestra que, mediante una secuencia finita de tales pasos, se puede lograr un estado con solo dos marcadores restantes si y solo si $n - 1$ no es divisible por $3$.

Sea $ABCD$ un paralelogramo. Una línea variable $g$ a través del vértice $A$ interseca los rayos $BC$ y $DC$ en los puntos $X$ y $Y$ , respectivamente. Sean $K$ y $L$ los $A$ - excentros de los triángulos $ABX$ y $ADY$ . Demuestra que el ángulo $\measuredangle KCL$ es independiente de la línea $g$.

Sea $n$ un entero positivo divisible por $4$. Encuentra el número de permutaciones $\sigma$ de $(1,2,3,\cdots,n)$ que satisfacen la condición $\sigma(j)+\sigma^{-1}(j)=n+1$ para todo $j \in \{1,2,3,\cdots,n\}$.

En el triángulo $ABC$, $\angle BAC = 94^{\circ},\ \angle ACB = 39^{\circ}$. Demuestra que \[ BC^2 = AC^2 + AC\cdot AB\] .