En un triángulo $ABC$ , sea $D$ el punto en el segmento $BC$ tal que $AB+BD=AC+CD$ . Suponga que los puntos $B$ , $C$ y los centroides de los triángulos $ABD$ y $ACD$ se encuentran en un círculo. Demuestre que $AB=AC$ .

Sea $\mathbb N$ el conjunto de todos los números naturales y sea $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ una función tal que $\text{(a)} f(mn)=f(m).f(n)$ para todo $m,n \in\mathbb{N}$ ; $\text{(b)} m+n$ divide a $f(m)+f(n)$ para todo $m,n\in \mathbb N$. Demuestre que existe un número natural impar $k$ tal que $f(n)= n^k$ para todo $n$ en $\mathbb{N}$.

Hay $n\ge 3$ niñas en una clase sentadas alrededor de una mesa circular, cada una con algunas manzanas. Cada vez que el profesor nota que una niña tiene más manzanas que sus dos vecinos combinados, el profesor le quita una manzana a esa niña y le da una manzana a cada uno de sus vecinos. Demuestre que este proceso se detiene después de un número finito de pasos. (Asuma que el profesor tiene un abundante suministro de manzanas).

Encuentre todos los polinomios con coeficientes reales $P(x)$ tales que $P(x^2+x+1)$ divide a $P(x^3-1)$.

Sean $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ dos círculos con centros respectivos $O_1$ y $O_2$ que se intersectan en dos puntos distintos $A$ y $B$ tal que $\angle{O_1AO_2}$ es un ángulo obtuso. Sea la circunferencia circunscrita de $\Delta{O_1AO_2}$ intersecta a $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ respectivamente en los puntos $C (\neq A)$ y $D (\neq A)$. Sea la línea $CB$ intersecta a $\Gamma_2$ en $E$; sea la línea $DB$ intersecta a $\Gamma_1$ en $F$. Demuestre que los puntos $C, D, E, F$ son concíclicos.

Para cualquier número natural $n$, considere un tablero rectangular de $1\times n$ formado por $n$ cuadrados unitarios. Este se cubre con $3$ tipos de baldosas: baldosas rojas de $1\times 1$, baldosas verdes de $1\times 1$ y dominós de $1\times 2$. (Por ejemplo, podemos tener $5$ tipos de mosaicos cuando $n=2$: rojo-rojo; rojo-verde; verde-rojo; verde-verde; y azul). Sea $t_n$ denota el número de formas de cubrir el tablero rectangular de $1\times n$ con estos $3$ tipos de baldosas. Demuestre que, $t_n$ divide a $t_{2n+1}$.

Sea $ABC$ un triángulo no equilátero con lados enteros. Sean $D$ y $E$ los puntos medios de $BC$ y $CA$ respectivamente; sea $G$ el centroide de $\Delta{ABC}$. Suponga que $D$, $C$, $E$, $G$ son concíclicos. Encuentre el menor perímetro posible de $\Delta{ABC}$.

Sean $A_1,A_2,\ldots,A_n$ subconjuntos de un conjunto finito $S$ tales que $|A_j|=8$ para cada $j$. Para un subconjunto $B$ de $S$ sea $F(B)=\{j \mid 1\le j\le n \ \ \text{y} \ A_j \subset B\}$. Supongamos que para cada subconjunto $B$ de $S$ al menos una de las siguientes condiciones se cumple \n(a) $|B| > 25$ , \n(b) $F(B)=\{\O\}$ , \n(c) $\bigcap_{j\in F(B)} A_j \neq {\O}$ . \nDemuestra que $A_1\cap A_2 \cap \cdots \cap A_n \neq {\O}$.

Sea $u_{jk}$ un número real para cada $j=1,2,3$ y cada $k=1,2$ y sea $N$ un entero tal que \n\[\max_{1\le k \le 2} \sum_{j=1}^3 |u_{jk}| \leq N\] \nSean $M$ y $l$ enteros positivos tales que $l^2 <(M+1)^3$. Demuestra que existen enteros $\xi_1,\xi_2,\xi_3$ no todos cero, tales que \n\[\max_{1\le j \le 3}\xi_j \le M\ \ \ \text{y} \ \ \ \left|\sum_{j=1}^3 u_{jk}\xi_k\right| \le \frac{MN}{l} \ \ \ \text{para k=1,2}\]

Encuentra todas las ternas $(a,b,c)$ tales que $a,b,c$ son enteros en el conjunto $\{2000,2001,\ldots,3000\}$ satisfaciendo $a^2+b^2=c^2$ y $\text{gcd}(a,b,c)=1$.