Sea $ABC$ un triángulo en el que $\angle A = 60^\circ$. Sean $BE$ y $CF$ las bisectrices de $\angle B$ y $\angle C$ con $E$ en $AC$ y $F$ en $AB$. Sea $M$ la reflexión de $A$ en la línea $EF$. Demuestre que $M$ está en $BC$.

Encuentre tres enteros positivos distintos con la menor suma posible tal que la suma de los recíprocos de dos enteros cualesquiera entre ellos es un múltiplo entero del recíproco del tercer entero.

Encuentre el número de números de $4$ dígitos (en base $10$) que tienen dígitos distintos de cero y que son divisibles por $4$ pero no por $8$.

Sean $P_1(x) = ax^2 - bx - c$, $P_2(x) = bx^2 - cx - a$, $P_3(x) = cx^2 - ax - b$ tres polinomios cuadráticos. Suponga que existe un número real $\alpha$ tal que $P_1(\alpha) = P_2(\alpha) = P_3(\alpha)$. Demuestre que $a = b = c$.

Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo en el que las diagonales $AD, BE, CF$ concurren en $O$. Suponga que $[OAF]$ es la media geométrica de $[OAB]$ y $[OEF]$ y $[OBC]$ es la media geométrica de $[OAB]$ y $[OCD]$. Demuestre que $[OED]$ es la media geométrica de $[OCD]$ y $[OEF]$. (Aquí $[XYZ]$ denota el área del $\triangle XYZ$)

Sea $n>1$ un número natural. Sea $U=\{1,2,...,n\}$ , y defina $A\Delta B$ como el conjunto de todos aquellos elementos de $U$ que pertenecen exactamente a uno de $A$ y $B$ . Demuestre que $|\mathcal{F}|\le 2^{n-1}$ , donde $\mathcal{F}$ es una colección de subconjuntos de $U$ tal que para cualesquiera dos elementos distintos de $A,B$ de $\mathcal{F}$ tenemos $|A\Delta B|\ge 2$ . También encuentre todas esas colecciones $\mathcal{F}$ para las cuales se alcanza el máximo.

En un triángulo acutángulo $ABC$ , un punto $D$ se encuentra en el segmento $BC$ . Sean $O_1,O_2$ los circuncentros de los triángulos $ABD$ y $ACD$ respectivamente. Demuestre que la línea que une el circuncentro del triángulo $ABC$ y el ortocentro del triángulo $O_1O_2D$ es paralela a $BC$ .

Escrito en una pizarra está el polinomio $x^2+x+2014$ . Calvin y Hobbes se turnan alternativamente (comenzando con Calvin) en el siguiente juego. En su turno, Calvin debe aumentar o disminuir el coeficiente de $x$ en $1$ . Y en este turno, Hobbes debe aumentar o disminuir el coeficiente constante en $1$ . Calvin gana si en algún momento el polinomio en la pizarra en ese instante tiene raíces enteras. Demuestre que Calvin tiene una estrategia ganadora.

Sean $a,b$ números naturales con $ab>2$ . Suponga que la suma de su máximo común divisor y su mínimo común múltiplo es divisible por $a+b$ . Demuestre que el cociente es como máximo $\frac{a+b}{4}$ . ¿Cuándo este cociente es exactamente igual a $\frac{a+b}{4}$ ?

Sea $n$ un número natural. Demuestre que, \[ \left\lfloor \frac{n}{1} \right\rfloor+ \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor + \cdots + \left\lfloor \frac{n}{n} \right\rfloor + \left\lfloor \sqrt{n} \right\rfloor \] es par.