Sean $A,B,C$ tres puntos en ese orden en una línea $\ell$ en el plano, y supón que $AB>BC$ . Dibuja semicírculos $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ respectivamente con $AB$ y $BC$ como diámetros, ambos en el mismo lado de $\ell$ . Sea la tangente común a $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ que los toca respectivamente en $P$ y $Q$ , $P\ne Q$ . Sean $D$ y $E$ puntos en el segmento $PQ$ tales que el semicírculo $\Gamma_3$ con $DE$ como diámetro toca a $\Gamma_2$ en $S$ y a $\Gamma_1$ en $T$ . Prueba que $A,C,S,T$ son concíclicos. Prueba que $A,C,D,E$ son concíclicos.

Sea $ABC$ un triángulo y $AD,BE,CF$ sean cevianas concurrentes en un punto $P$ . Supón que cada uno de los cuadriláteros $PDCE,PEAF$ y $PFBD$ tiene tanto circuncírculo como incírculo. Prueba que $ABC$ es equilátero y $P$ coincide con el centro del triángulo.

Considere el conjunto $X$ = $\{ 1,2 \ldots 10 \}$ . Encuentre dos subconjuntos no vacíos disjuntos $A$ y $B$ de $X$ tales que a) $A \cup B = X$ ; b) $\prod_{x\in A}x$ es divisible por $\prod_{x\in B}x$ , donde $\prod_{x\in C}x$ es el producto de todos los números en $C$ ; c) $\frac{ \prod\limits_{x\in A}x}{ \prod\limits_{x\in B}x}$ es tan pequeño como sea posible.

Encuentre todos los números reales $a$ para los cuales la ecuación $x^2a- 2x + 1 = 3 |x|$ tiene exactamente tres soluciones reales distintas en $x$ .

Suponga que $P$ es un punto interior de un triángulo $ABC$ tal que las razones \[ \frac{d(A,BC)}{d(P,BC)} , \frac{d(B,CA)}{d(P,CA)} , \frac{d(C,AB)}{d(P,AB)} \] son todas iguales. Encuentre el valor común de estas razones. $d(X,YZ)$ representa la distancia perpendicular desde $X$ a la línea $YZ$ .

Encuentre el número de ternas ordenadas $(x,y,z)$ de enteros no negativos que satisfacen (i) $x \leq y \leq z$ (ii) $x + y + z \leq 100.$

Sean $a,b,c$ tres números reales positivos tales que $a + b +c =1$ . Demuestre que entre los tres números $a-ab, b - bc, c-ca$ hay uno que es como máximo $\frac{1}{4}$ y hay uno que es al menos $\frac{2}{9}$ .

Si $n$ es un entero mayor que $7$ , demuestre que ${n \choose 7} - \left[ \frac{n}{7} \right]$ es divisible por $7$ .

Sea $ABC$ un triángulo en el que $AB =AC$ y $\angle CAB = 90^{\circ}$ . Suponga que $M$ y $N$ son puntos en la hipotenusa $BC$ tales que $BM^2 + CN^2 = MN^2$ . Demuestre que $\angle MAN = 45^{\circ}$ .

Para cada entero $n \ge 1$ defina $a_n = \left[\frac{n}{\left[\sqrt{n}\right]}\right]$ (donde $[x]$ denota el mayor entero que no excede a $x$, para cualquier número real $x$). Encuentre el número de todos los $n$ en el conjunto $\{1, 2, 3, \cdots , 2010\}$ para los cuales $a_n > a_{n+1}$