Demuestra la siguiente identidad: $ \sum_{j = 0}^n \left ({{3n + 2 - j \choose j}2^j - {3n + 1 - j \choose j - 1}2^{j - 1}\right ) = 2^{3n}$. El segundo término del lado izquierdo debe considerarse cero para j=0.

Sean $ f(x)$ y $ g(y)$ dos polinomios mónicos de grado = $n$ que tienen coeficientes complejos. Sabemos que existen números complejos $ a_i,b_i,c_i \forall 1\le i \le n$, tales que $ f(x)-g(y)=\prod_{i=1}^n{(a_ix+b_iy+c_i)}$. Demuestra que existen $ a,b,c\in\mathbb{C}$ tales que $ f(x)=(x+a)^n+c\text{ y }g(y)=(y+b)^n+c$.

Sea $ \gamma$ la circunferencia circunscrita del $ \triangle ABC$. Sea $R_a$ el radio del círculo que toca a $AB, AC$ y $ \gamma$ internamente. Define $R_b, R_c$ de manera similar. Demuestra que $ \frac {1}{aR_a} + \frac {1}{bR_b} + \frac {1}{cR_c} = \frac {s^2}{rabc}$.

Sean $a, b$ dos números naturales impares distintos. Define una secuencia $ { < a_n > }_{n\ge 0}$ como sigue: $ a_1 = a \\ a_2 = b \\ a_n = \text{el mayor divisor impar de }(a_{n - 1} + a_{n - 2})$. Demuestra que existe un número natural $N$ tal que $ a_n = gcd(a,b) \forall n\ge N$.

Consideremos un grafo simple con conjunto de vértices $V$. Todos los pares ordenados $ (a,b)$ de enteros con $gcd(a,b) = 1$ son elementos de V. $ (a,b)$ está conectado a $ (a,b + kab)$ por una arista y a $ (a + kab,b)$ por otra arista para todo entero k. Demuestra que para todo $ (a,b)\in V$, existe un camino desde $ (1,1)$ hasta $ (a,b)$.

Sea $ABC$ un triángulo con $ \angle A = 60^{\circ}$. Demuestra que si $T$ es el punto de contacto del incírculo y el círculo de los nueve puntos, entonces $AT = r$, donde $r$ es el inradio.

Encuentra el entero positivo más pequeño $n$ o muestra que no existe tal $n$ , con la siguiente propiedad: hay infinitos $n$ -tuplas distintas de números racionales positivos $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ tales que tanto $$a_1+a_2+\dots +a_n \quad \text{y} \quad \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_n}$$ son enteros.

Sea $n\ge 2$ un número natural. Sean $a_1\le a_2\le a_3\le \cdots \le a_n$ números reales tales que $a_1+a_2+\cdots +a_n>0$ y $n(a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2)=2(a_1+a_2+\cdots +a_n)^2.$ Si $m=\lfloor n/2\rfloor+1$ , el entero más pequeño mayor que $n/2$ , entonces muestra que $a_m>0.$

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo inscrito en un círculo con centro $O$ que no está en ninguna de las diagonales. Si el circuncentro del triángulo $AOC$ está en la línea $BD$ , prueba que el circuncentro del triángulo $BOD$ está en la línea $AC$ .

Determina todos los enteros $ n\geq 2$ que tienen la siguiente propiedad: para cualquier entero $a_1,a_2,\ldots, a_n$ cuya suma no es divisible por $n$ , existe un índice $1 \leq i \leq n$ tal que ninguno de los números $$a_i,a_i+a_{i+1},\ldots,a_i+a_{i+1}+\ldots+a_{i+n-1}$$ es divisible por $n$ . Aquí, hacemos $a_i=a_{i-n}$ cuando $i >n$ .