Sea $f(x) = \sin \frac{x}{3}+ \cos \frac{3x}{10}$ para todo $x$ real. Encuentra el número natural más pequeño $n$ tal que $f(n\pi + x)= f(x)$ para todo $x$ real.

Hay ocho habitaciones en el primer piso de un hotel, con cuatro habitaciones a cada lado del pasillo, situadas simétricamente (es decir, cada habitación está exactamente enfrente de otra habitación). Cuatro huéspedes deben ser alojados en cuatro de las ocho habitaciones (es decir, uno en cada una) de manera que no haya dos huéspedes en habitaciones adyacentes o en habitaciones opuestas. ¿De cuántas maneras se pueden alojar los huéspedes?

Hay cinco ciudades $A,B,C,D,E$ en una isla. Cada ciudad está conectada a todas las demás ciudades por carretera. ¿De cuántas maneras una persona que parte de la ciudad $A$ puede regresar a $A$ después de visitar algunas ciudades sin visitar una ciudad más de una vez y sin tomar la misma carretera más de una vez? (El orden en que visita las ciudades también importa: por ejemplo, las rutas $A \to B \to C \to A$ y $A\to C \to B \to A$ son diferentes.)

Un bolígrafo cuesta $11$ € y un cuaderno cuesta $13$ €. Encuentra el número de formas en que una persona puede gastar exactamente $1000$ € para comprar bolígrafos y cuadernos.

Encuentra el número de enteros positivos $n$ , tales que $\sqrt{n} + \sqrt{n + 1} < 11$ .

Sea la suma $\sum_{n=1}^{9} \frac{1}{n(n+1)(n+2)}$ escrita en sus términos más bajos como $\frac{p}{q}$ . Encuentra el valor de $q - p$ .

Sean $u, v,w$ números reales en progresión geométrica tales que $u > v > w$. Suponga que $u^{40} = v^n = w^{60}$. Encuentre el valor de $n$.

Sean $a, b$ enteros tales que todas las raíces de la ecuación $(x^2+ax+20)(x^2+17x+b) = 0$ son enteros negativos. ¿Cuál es el valor posible más pequeño de $a + b$?

Suponga que un entero $x$ , un número natural $n$ y un número primo $p$ satisfacen la ecuación $7x^2-44x+12=p^n$ . Encuentra el valor más grande de $p$ .

Suponga que en el plano 10 líneas no paralelas entre sí se intersectan entre sí. ¿Cuál es el número máximo posible de polígonos (con áreas finitas) que se pueden formar?