Encuentra el número de ternas ordenadas (a, b, c) de enteros positivos tales que abc = 108.

Encuentra todos los primos $p$ para los cuales el cociente \n\[ \dfrac{2^{p-1} - 1 }{p} \]\nes un cuadrado.

Sea $n \geq 2$. Sean $a_1 , a_2 , a_3 , \ldots a_n$ $n$ números reales todos menores que $1$ y tales que $|a_k - a_{k+1} | < 1$ para $1 \leq k \leq n-1$. Demuestra que \n\[ \dfrac{a_1}{a_2} + \dfrac{a_2}{a_3} + \dfrac{a_3}{a_4} + \ldots + \dfrac{a_{n-1}}{a_n} + \dfrac{a_n}{a_1} < 2 n - 1 . \]

Sea $ABC$ un triángulo y un círculo $\Gamma'$ dibujado fuera del triángulo, tocando su incírculo $\Gamma$ externamente, y también los dos lados $AB$ y $AC$. Demuestra que la razón de los radios de los círculos $\Gamma'$ y $\Gamma$ es igual a $\tan^ 2 { \left( \dfrac{ \pi - A }{4} \right) }.$

Demuestra que el número de subconjuntos de $3$ elementos $\{ a , b, c \}$ de $\{ 1 , 2, 3, \ldots, 63 \}$ con $a+b +c < 95$ es menor que el número de aquellos con $a + b +c \geq 95.$

Demuestra que existen infinitos pares $(a,b)$ de enteros relativamente primos (no necesariamente positivos) tales que ambas ecuaciones \n\begin{eqnarray*} x^2 +ax +b &=& 0 \\ x^2 + 2ax + b &=& 0 \\\n\end{eqnarray*}\ntienen raíces enteras.

En un triángulo acutángulo $ABC$, $\angle A = 30^{\circ}$, $H$ es el ortocentro, y $M$ es el punto medio de $BC$. En la línea $HM$, toma un punto $T$ tal que $HM = MT$. Demuestra que $AT = 2 BC$.

Dado un triángulo $ABC$ con ángulos $\angle A = 60^{\circ}, \angle B = 75^{\circ}, \angle C = 45^{\circ}$ , sea $H$ su ortocentro, y $O$ su circuncentro. Sea $F$ el punto medio del lado $AB$ , y $Q$ el pie de la perpendicular desde $B$ sobre $AC$ . Denotemos por $X$ el punto de intersección de las líneas $FH$ y $QO$ . Suponga que la razón de la longitud de $FX$ y el circunradio del triángulo está dada por $\dfrac{a + b \sqrt{c}}{d}$ , entonces encuentre el valor de $1000a + 100b + 10c + d$ .

Considere el conjunto $S$ de permutaciones de $1, 2, \dots, 2022$ tal que para todos los números $k$ en la permutación, el número de números menores que $k$ que siguen a $k$ es par. Por ejemplo, para $n=4; S = {[3,4,1,2]; [3,1,2,4]; [1,2,3,4]; [1,4,2,3]}$ Si $|S| = (a!)^b$ donde $a, b \in \mathbb{N}$ , entonces encuentre el producto $ab$ .

Los siguientes $100$ números están escritos en la pizarra: $$2^1 - 1, 2^2 - 1, 2^3 - 1, \dots, 2^{100} - 1.$$ Alicia elige dos números $a,b,$ los borra y escribe el número $\dfrac{ab - 1}{a+b+2}$ en la pizarra. Ella sigue haciendo esto hasta que quede un solo número en la pizarra. Si la suma de todos los números posibles con los que puede terminar es $\dfrac{p}{q}$ donde $p, q$ son coprimos, entonces, ¿cuál es el valor de $\log_{2}(p+q)$ ?