Sea $ P(x)$ un polinomio con coeficientes enteros. Pruebe que existen dos polinomios $ Q(x)$ y $ R(x)$ , nuevamente con coeficientes enteros, tales que (i) $ P(x) \cdot Q(x)$ es un polinomio en $ x^2$ , y (ii) $ P(x) \cdot R(x)$ es un polinomio en $ x^3$ .

Sea $ ABC$ un triángulo; $ \Gamma_A,\Gamma_B,\Gamma_C$ tres círculos iguales, disjuntos dentro de $ ABC$ tales que $ \Gamma_A$ toca $ AB$ y $ AC$ ; $ \Gamma_B$ toca $ AB$ y $ BC$ ; y $ \Gamma_C$ toca $ BC$ y $ CA$ . Sea $ \Gamma$ un círculo que toca externamente a los círculos $ \Gamma_A, \Gamma_B, \Gamma_C$ . Pruebe que la línea que une el circuncentro $ O$ y el incentro $ I$ del triángulo $ ABC$ pasa por el centro de $ \Gamma$ .

Todos los puntos con coordenadas enteras en el plano $ xy$ se colorean con tres colores, rojo, azul y verde, usando cada color al menos una vez. Se sabe que el punto $ (0,0)$ es rojo y el punto $ (0,1)$ es azul. Pruebe que existen tres puntos con coordenadas enteras de distintos colores que forman los vértices de un triángulo rectángulo.

Sea $ A$ un conjunto de números reales tal que $ A$ tiene al menos cuatro elementos. Suponga que $ A$ tiene la propiedad de que $ a^2 + bc$ es un número racional para todos los números distintos $ a,b,c$ en $ A$ . Pruebe que existe un entero positivo $ M$ tal que $ a\sqrt{M}$ es un número racional para cada $ a$ en $ A$ .

Encuentre todas las ternas $ \left(p,x,y\right)$ tales que $ p^x=y^4+4$ , donde $ p$ es un número primo y $ x$ e $ y$ son números naturales.

Sea $ ABC$ un triángulo, $ I$ su incentro; $ A_1,B_1,C_1$ las reflexiones de $ I$ en $ BC, CA, AB$ respectivamente. Suponga que la circunferencia circunscrita del triángulo $ A_1B_1C_1$ pasa por $ A$ . Pruebe que $ B_1,C_1,I,I_1$ son concíclicos, donde $ I_1$ es el incentro del triángulo $ A_1,B_1,C_1$ .

Sean $r$ , $s$ números reales, encuentra el máximo $t$ tal que si $a_1, a_2, \ldots$ es una secuencia de números reales positivos que satisfacen\n\[ a_1^r + a_2^r + \cdots + a_n^r \le 2023 \cdot n^t \]\npara todo $n \ge 2023$ entonces la suma\n\[ b_n = \frac 1{a_1^s} + \cdots + \frac 1{a_n^s} \]\nes no acotada, es decir, para todo real positivo $M$ existe un $n$ tal que $b_n > M$ .

En CMI, cada persona tiene a lo sumo $3$ amigos. Una enfermedad ha infectado exactamente a $2023$ personas en CMI. Cada día, una persona se infecta si y sólo si al menos dos de sus amigos fueron infectados el día anterior. Una vez que alguien está infectado, no puede morir ni ser curado. Dado que todos en CMI eventualmente se infectaron, ¿cuál es el número máximo posible de personas en CMI?

Sea $S = \mathbb Z \times \mathbb Z$ . Un subconjunto $P$ de $S$ se llama agradable si\n$(a, b) \in P \implies (b, a) \in P$\n$(a, b)$ , $(c, d)\in P \implies (a + c, b - d) \in P$\nEncuentra todos los $(p, q) \in S$ tal que si $(p, q) \in P$ para algún conjunto agradable $P$ entonces $P = S$ .

Sea $ABC$ un triángulo. Sea $I$ el incentro de $ABC$ y $S$ el punto medio del arco $BAC$ . Define $I_A$ como el $A$ - excentro con respecto a $ABC$ . Define $\omega$ como el círculo centrado en $S$ con radio $SB$ . Sea $AI_A \cap \omega = X$ , $Y$ . Muestra que $\angle BCX = \angle ACY$ .