Si $A$ es un subconjunto de cincuenta elementos del conjunto $1,2,\ldots 100$ tal que no hay dos números de $A$ que sumen $100$, muestra que $A$ contiene un cuadrado.

Dado cualquier entero positivo $n$, muestra que existen dos números racionales positivos $a$ y $b$, $a \not= b$, que no son enteros y que son tales que $a - b, a^2 - b^2 , \ldots a^n - b^n$ son todos enteros.

Sea $ABC$ un triángulo y $h_a$ la altura desde $A$. Demuestra que \[ (b+c)^2 \geq a^2 + 4h_a ^2 . \]

Suponga que $N$ es un entero positivo de $n$ dígitos tal que (a) todos sus dígitos son distintos; (b) la suma de cualesquiera tres dígitos consecutivos es divisible por $5$. Demuestra que $n \leq 6$. Además, muestra que comenzando con cualquier dígito, uno puede encontrar un número de seis dígitos con estas propiedades.

Resuelve para números reales $x$ e $y$, \begin{eqnarray*} \ xy^2 &=& 15x^2 + 17xy +15y^2 ; \ \ x^2y &=& 20x^2 + 3y^2. \end{eqnarray*}

Encuentra todas las ternas $a,b,c$ de enteros positivos tales que \[ ( 1 + \frac{1}{a} ) ( 1 + \frac{1}{b}) ( 1 + \frac{1}{c} ) = 3. \]

Los lados de un triángulo son tres enteros consecutivos y su inradio es $4$. Encuentra el circunradio.

Se desea elegir $n$ enteros de la colección de $2n$ enteros, a saber, $0,0,1,1,2,2,\ldots,n-1,n-1$ tales que el promedio de estos $n$ enteros elegidos sea un entero y sea lo más mínimo posible. Demuestre que esto se puede hacer para cada entero positivo $n$ y encuentre este valor mínimo para cada $n$.

Suponga que $a,b,c$ son tres números reales tales que la ecuación cuadrática \n\[ x^2 - (a +b +c )x + (ab +bc +ca) = 0 \] tiene raíces de la forma $\alpha + i \beta$ donde $\alpha > 0$ y $\beta \not= 0$ son números reales. Demuestre que \n(i) Los números $a,b,c$ son todos positivos. \n(ii) Los números $\sqrt{a}, \sqrt{b} , \sqrt{c}$ forman los lados de un triángulo.

Suponga que $ABCD$ es un cuadrilátero cíclico inscrito en un círculo de radio uno. Si $AB \cdot BC \cdot CD \cdot DA \geq 4$, demuestre que $ABCD$ es un cuadrado.