Sean $p , q, r , s$ cuatro enteros tales que $s$ no es divisible por $5$. Si existe un entero $a$ tal que $pa^3 + qa^2+ ra +s$ es divisible por 5, demuestre que existe un entero $b$ tal que $sb^3 + rb^2 + qb + p$ también es divisible por 5.

Sean $a$ y $b$ dos números racionales positivos tales que $\sqrt[3] {a} + \sqrt[3]{b}$ también es un número racional. Demuestre que $\sqrt[3]{a}$ y $\sqrt[3] {b}$ son números racionales.

En un círculo $C_1$ con centro $O$, sea $AB$ una cuerda que no es un diámetro. Sea $M$ el punto medio de esta cuerda $AB$. Tomemos un punto $T$ en el círculo $C_2$ con $OM$ como diámetro. Sea la tangente a $C_2$ en $T$ que se encuentra con $C_1$ en $P$. Demuestre que $PA^2 + PB^2 = 4 \cdot PT^2$.

Un tablero de $12 \times 12$ se divide en $144$ cuadrados unitarios dibujando líneas paralelas a los lados. Se dice que dos torres colocadas en dos cuadrados unitarios no se atacan si no están en la misma columna o en la misma fila. Encuentre el número más pequeño $N$ tal que si se colocan $N$ torres en los cuadrados unitarios, una torre por cuadrado, siempre podemos encontrar $7$ torres tales que no haya dos que se ataquen entre sí.

¿De cuántas maneras pueden sentarse cuatro parejas casadas en un carrusel con asientos idénticos de tal manera que hombres y mujeres ocupen asientos alternos y ningún esposo se siente al lado de su esposa?

Suponga que $P$ es el polinomio de menor grado con coeficientes enteros tal que $$P(\sqrt{7} + \sqrt{5}) = 2(\sqrt{7} - \sqrt{5})$$ Encuentre $P(2)$.

Sea $P_0 = (3,1)$ y defina $P_{n+1} = (x_n, y_n)$ para $n \ge 0$ por $$x_{n+1} = - \frac{3x_n - y_n}{2}, y_{n+1} = - \frac{x_n + y_n}{2}$$ Encuentre el área del cuadrilátero formado por los puntos $P_{96}, P_{97}, P_{98}, P_{99}$.

Para cualquier número real $t$, sea $\lfloor t \rfloor$ denote el entero más grande $\le t$. Suponga que $N$ es el entero más grande tal que $$\left \lfloor \sqrt{\left \lfloor \sqrt{\left \lfloor \sqrt{N} \right \rfloor}\right \rfloor}\right \rfloor = 4$$ Encuentre la suma de los dígitos de $N$.

Encuentre el número de funciones $f: \{1,2,3\} \rightarrow \{1,2,3,4,5\}$ tal que $f(i) \le f(j)$ siempre que $i < j$.

Sean $x,y,z$ números reales positivos tales que $x^2 + y^2 = 49, y^2 + yz + z^2 = 36$ y $x^2 + \sqrt{3}xz + z^2 = 25$. Si el valor de $2xy + \sqrt{3}yz + zx$ se puede escribir como $p \sqrt{q}$ donde $p,q \in \mathbb{Z}$ y $q$ está libre de cuadrados, encuentre $p+q$.