Encuentra el número de elementos en el conjunto \n$$ \left\{(a, b) \in \mathbb{N}: 2 \leq a, b \leq 2023, \log _a(b)+6 \log _b(a)=5\right\} $$\n

Sea $n$ un entero positivo tal que $1 \leq n \leq 1000$. Sea $M_n$ el número de enteros en el conjunto $X_n=\{\sqrt{4 n+1}, \sqrt{4 n+2}, \ldots, \sqrt{4 n+1000}\}$. Sea \n$$ a=\max \left\{M_n: 1 \leq n \leq 1000\right\} \text {, y } b=\min \left\{M_n: 1 \leq n \leq 1000\right\} \text {. } $$\nEncuentra $a-b$.

Sea $ X$ el conjunto de todos los enteros positivos mayores o iguales a $ 8$ y sea $ f: X\rightarrow X$ una función tal que $ f(x+y)=f(xy)$ para todo $ x\ge 4, y\ge 4 .$ Si $ f(8)=9$ , determina $ f(9) .$

Demuestra que hay infinitos enteros positivos $ n$ tales que $ n(n+1)$ puede representarse como una suma de dos cuadrados positivos de al menos dos formas diferentes. (Aquí $ a^{2}+b^{2}$ y $ b^{2}+a^{2}$ se consideran la misma representación.)

Sea $ ABCD$ un cuadrilátero en el que $ AB$ es paralelo a $ CD$ y perpendicular a $ AD; AB = 3CD;$ y el área del cuadrilátero es $ 4$ . Si se puede dibujar un círculo que toque los cuatro lados del cuadrilátero, encuentra su radio.

Un cuadrado de $ 6\times 6$ se divide en 9 rectángulos por líneas paralelas a sus lados de tal manera que todos estos rectángulos tienen lados enteros. Demuestra que siempre hay dos rectángulos congruentes.

Si $ a,b,c$ son tres números reales positivos, demuestra que $ \frac {a^{2}+1}{b+c}+\frac {b^{2}+1}{c+a}+\frac {c^{2}+1}{a+b}\ge 3$

Si $ a$ y $ b$ son números naturales tales que $ a+13b$ es divisible por $ 11$ y $ a+11b$ es divisible por $ 13$ , entonces encuentra el menor valor posible de $ a+b$ .

Sea $ ABC$ un triángulo acutángulo y sean $ D,E,F$ los pies de las perpendiculares desde $ A,B,C$ respectivamente a $ BC,CA,AB .$ Sean las perpendiculares desde $ F$ a $ CB,CA,AD,BE$ que se encuentran con ellas en $ P,Q,M,N$ respectivamente. Demuestra que los puntos $ P,Q,M,N$ son colineales.

k, l, m \in \mathbb{N} \t 2^{k+l} +2^{l+m}+2^{m+k}\le 2^{k+l+m+1} +1