Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Las líneas paralelas a $AD$ y $CD$ a través del ortocentro $H$ de $ABC$ intersecan $AB$ y $BC$ respectivamente en $P$ y $Q$. Demuestre que la perpendicular a través de $H$ a la línea $PQ$ pasa a través del ortocentro del triángulo $ACD$

Un camino merida de orden $2n$ es un camino reticular en el primer cuadrante del plano $xy$ que une $(0,0)$ a $(2n,0)$ usando tres tipos de pasos $U=(1,1)$, $D= (1,-1)$ y $L= (2,0)$, es decir, $U$ une $x,y)$ a $(x+1,y+1)$ etc... Un ascenso en un camino merida es una cadena máxima de pasos consecutivos de la forma $U$. Si $S(n,k)$ denota el número de caminos merdia de orden $2n$ con exactamente $k$ ascensos, calcule $S(n,1)$ y $S(n,n-1)$.

Encuentre todas las funciones $ f: \mathbb{N^{*}}\to \mathbb{N^{*}}$ que satisfacen \[ \left(f^{2}\left(m\right)+f\left(n\right)\right) \mid \left(m^{2}+n\right)^{2}\] para cualquier par de enteros positivos $m$ y $n$.\n\nObservación. La abreviatura $\mathbb{N^{*}}$ representa el conjunto de todos los enteros positivos: $\mathbb{N^{*}}=\left\{1,2,3,...\right\}$. Por $f^{2}\left(m\right)$, queremos decir $\left(f\left(m\right)\right)^{2}$ (y no $f\left(f\left(m\right)\right)$).

Sean $0 <a <b$ dos números racionales. Sea $M$ un conjunto de números reales positivos con las propiedades: (i) $a \in M$ y $b \in M$ ; (ii) si $x$ $\in M$ y $y \in M$, entonces $\sqrt{xy} \in M$. Sea $M^*$ denote el conjunto de todos los números irracionales en $M$. Demuestre que cada $c,d$ tal que $a <c <d<b$, $M^*$ contiene un elemento $m$ con la propiedad $c<m<d$

Hay $10001$ estudiantes en una universidad. Algunos estudiantes se unen para formar varios clubes (un estudiante puede pertenecer a diferentes clubes). Algunos clubes se unen para formar varias sociedades (un club puede pertenecer a diferentes sociedades). Hay un total de $k$ sociedades. Suponga que se cumplen las siguientes condiciones: i.) Cada par de estudiantes están en exactamente un club. ii.) Para cada estudiante y cada sociedad, el estudiante está en exactamente un club de la sociedad. iii.) Cada club tiene un número impar de estudiantes. Además, un club con ${2m+1}$ estudiantes ($m$ es un entero positivo) está en exactamente $m$ sociedades. Encuentre todos los valores posibles de $k$.

Sea $\tau(n)$ denote el número de divisores positivos del entero positivo $n$. Demuestre que existen infinitos enteros positivos $a$ tales que la ecuación $\tau(an)=n$ no tiene una solución entera positiva $n$.

Considere un polígono de $n$ lados inscrito en un círculo ($n \geq 4$). Divida el polígono en $n-2$ triángulos usando diagonales no intersecantes. Demuestre que, independientemente de la triangulación, la suma de los inradios de los triángulos es una constante.

Si $a$, $b$, $c$ son tres números reales positivos tales que $ab+bc+ca = 1$, demuestre que \[ \sqrt[3]{ \frac{1}{a} + 6b} + \sqrt[3]{\frac{1}{b} + 6c} + \sqrt[3]{\frac{1}{c} + 6a } \leq \frac{1}{abc}. \]

Demuestre que se puede encontrar un $n_{0} \in \mathbb{N}$ tal que $\forall m \geq n_{0}$, existen tres enteros positivos $a$, $b$, $c$ tales que (i) $m^3 < a < b < c < (m+1)^3$ ; (ii) $abc$ es el cubo de un entero.

Sea $ABC$ un triángulo con todos los ángulos $\leq 120^{\circ}$. Sea $F$ el punto de Fermat del triángulo $ABC$, es decir, el punto interior de $ABC$ tal que $\angle AFB = \angle BFC = \angle CFA = 120^\circ$. Para cada uno de los tres triángulos $BFC$, $CFA$ y $AFB$, dibuje su línea de Euler, es decir, la línea que conecta su circuncentro y su centroide. Demuestre que estas tres líneas de Euler pasan por un punto común.\n\nObservación. El punto de Fermat $F$ también se conoce como el primer punto de Fermat o el primer punto de Toricelli del triángulo $ABC$.