Una secuencia de números $ a_1, a_2, a_3, ...$ satisface (i) $ a_1 = \frac{1}{2}$ (ii) $ a_1+a_2 + \cdots + a_n = n^2 a_n \ (n \geq 1)$ Determine el valor de $ a_n \ (n \geq 1)$ .

Simplificar $ \left(\frac {1 \cdot 2 \cdot 4 + 2 \cdot 4 \cdot 8 + \cdots + n \cdot 2n \cdot 4n}{1 \cdot 3 \cdot 9 + 2 \cdot 6 \cdot 18 + \cdots + n \cdot 3n \cdot 9n}\right)^{\frac {1}{3}}$

Sea $\mathbb N = \{0,1,2,\ldots\}$ . Determine todas las funciones $f: \mathbb N \to \mathbb N$ tales que \[\nx f(y) + y f(x) = (x+y) f(x^2+y^2) \n\]\npara todos $x$ e $y$ en $\mathbb N$ .

Sea $\Gamma$ un círculo con radio $r$ . Sean $A$ y $B$ puntos distintos en $\Gamma$ tales que $AB < \sqrt{3}r$ . Sea el círculo con centro $B$ y radio $AB$ que se cruza con $\Gamma$ de nuevo en $C$ . Sea $P$ el punto dentro de $\Gamma$ tal que el triángulo $ABP$ sea equilátero. Finalmente, sea la línea $CP$ que se cruza con $\Gamma$ de nuevo en $Q$ . Demuestre que $PQ = r$ .

Demuestre que para todos los números reales positivos $a$ , $b$ , y $c$ , \[\n\frac{a^3}{bc} + \frac{b^3}{ca} + \frac{c^3}{ab} \geq a+b+c\n\]\ny determine cuándo se produce la igualdad.

Llame a un entero positivo $n$ práctico si todo entero positivo menor o igual que $n$ puede escribirse como la suma de divisores distintos de $n$. Por ejemplo, los divisores de 6 son 1, 2, 3 y 6. Dado que \[\n\centerline{1={\bf 1}, ~~ 2={\bf 2}, ~~ 3={\bf 3}, ~~ 4={\bf 1}+{\bf 3}, ~~ 5={\bf 2}+ {\bf 3}, ~~ 6={\bf 6},}\n\]\nvemos que 6 es práctico. Demuestre que el producto de dos números prácticos también es práctico.

Sea $S$ un subconjunto de $\{1, 2, \dots, 9\}$ , tal que las sumas formadas al sumar cada par no ordenado de números distintos de $S$ son todas diferentes. Por ejemplo, el subconjunto $\{1, 2, 3, 5\}$ tiene esta propiedad, pero $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ no la tiene, ya que los pares $\{1, 4\}$ y $\{2, 3\}$ tienen la misma suma, a saber, 5. ¿Cuál es el número máximo de elementos que $S$ puede contener?

Se marca un conjunto de puntos en el plano, con la propiedad de que cualquier tres puntos marcados pueden ser cubiertos con un disco de radio $1$ . Demuestra que el conjunto de todos los puntos marcados puede ser cubierto con un disco de radio $1$ .

Encuentra todos los pares ordenados de enteros $(a,b)$ tales que $3^a + 7^b$ es un cuadrado perfecto.

Define $f(x,y,z)=\frac{(xy+yz+zx)(x+y+z)}{(x+y)(y+z)(z+x)}$ . Determina el conjunto de números reales $r$ para los cuales existe un triplete de números reales positivos que satisfacen $f(x,y,z)=r$ .