Semifinal Estatal OMM 2003 Problema 6
En un juego de computadora se empieza con un tablero de $3 \times 2$ coloreado de blanco y negro, como se indica en la figura A. En cada jugada se eligen dos cuadritos que comparten un lado y se les cambia el color de acuerdo a las siguientes reglas: Negro cambia a rojo, rojo cambia a blanco y blanco cambia a negro. (a) Describe una forma de convertir el tablero A en el tablero B en 6 jugadas. (b) Demuestra que no es posible convertir el tablero A en el B en menos de 6 jugadas.
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Semifinal Estatal OMM 2003 Problema 5
Alicia tiene 6 tarjetas y en cada una de ellas está escrito un número entero positivo (algunos de los números pueden ser iguales entre sí). Toma 3 tarjetas y suma los números correspondientes. Al hacer esto con las 20 posibles combinaciones de 3 tarjetas, obtiene 10 veces el resultado 18, y 10 veces el resultado 16. ¿Cuáles son los números de las tarjetas?
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Semifinal Estatal OMM 2002 Problema 4
La lista $(1, x_2, x_3, \\ldots , x_n , 1000)$ es la sucesión más larga de enteros positivos tal que cada término a partir del tercero es la suma de todos los anteriores (por ejemplo $x_4 = 1 + x_2 + x_3$). ¿Cuánto vale $x_2$?
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Semifinal Estatal OMM 2002 Problema 2
En una lista están escritos los números del 1 al 16. ¿Es posible tachar 4 de ellos de manera que al multiplicar cualesquiera 2 de los 12 que queden el resultado no sea el cuadrado de un número entero?
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Semifinal Estatal OMM 2002 Problema 1
En una mesa hay 350 canastas vacías numeradas del 1 al 350. Sabemos que Andrés puso una pelota en cada canasta con número par, Beatriz puso una pelota en cada canasta con número múltiplo de 3, Carlos puso una pelota en cada canasta con número múltiplo de 5 y Diana puso una pelota en cada canasta con número múltiplo de 11. Encuentra dos canastas con números consecutivos que tengan exactamente 4 pelotas entre las 2.
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Semifinal Estatal OMM 2002 Problema 3
En la figura los triángulos $ABC$ y $CDE$ son equiláteros, $C$ es el punto sobre $BD$ tal que $BC = 1$ y $CD = 4$, y $F$ y $G$ son los puntos medios de $BC$ y $CD$, respectivamente. ¿Cuál es el área del triángulo sombreado? [image]
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Semifinal Estatal OMM 2002 Problema 6
Una cuadrícula de $8 \times 2$ quiere cubrirse con 8 fichas de $2 \times 1$ de manera que todos los cuadritos estén cubiertos (en la figura de abajo puede verse una posible forma de hacerlo). ¿De cuántas maneras puede hacerse esto? [image]
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Semifinal Estatal OMM 2002 Problema 5
En la figura los puntos $C$, $D$ y $E$ están sobre una circunferencia con centro en $O$; $ABCD$ es un cuadrado y $ABE$ un triángulo equilátero. Si el área del círculo es 1, ¿Cuál es el área de la región sombreada? [image]
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Semifinal Estatal OMM 2001 Problema 1
En una fiesta cada persona saludó a exactamente otras tres personas. (i) Explica por qué es imposible que a la fiesta hayan asistido exactamente 2001 personas. (ii) Si hubo en total 123 saludos, ¿cuántas personas asistieron a la fiesta?
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Semifinal Estatal OMM 2001 Problema 8
En la figura, los puntos $A$, $P$, $Q$ y $R$ están sobre la circunferencia con centro $C$; $ABCD$ es un cuadrado; la recta $PR$ pasa por $B$ y $D$; la recta $QR$ pasa por $C$. Determina el ángulo $\angle PQR$. [image]
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