Se tienen 6 números enteros $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ y $F$ que cumplen $C = A \times B$, $D = B \times C$, $E = C \times D$ y $F = D \times E$ (es decir, a partir del tercero, cada uno es el producto de los dos anteriores). Si sabemos que $A = 2$ y que $F = 6 \ 075 \ 000$, determina $B$, $C$, $D$ y $E$.

En la figura, los puntos $A$, $P$, $Q$ y $R$ están sobre la circunferencia con centro $C$; $ABCD$ es un cuadrado; la recta $PR$ pasa por $B$ y $D$; la recta $QR$ pasa por $C$. Determina el ángulo $\angle PQR$. [image]

Encuentra todos los enteros positivos menores que 2001 que son iguales a tres veces la suma de sus cifras.

El hexágono regular $ABCDEF$ de la figura tiene área 2001 y $P$ es la intersección de las rectas $AF$ y $CE$. Calcula el área del triángulo $AEP$. [image]

Con 125 cubitos de lado 1 se forma un cubo grande de lado 5. Muestra una manera de poner en cada cubito un número entero de tal forma que todas las sumas por filas (ve la descripción aquí abajo) sean iguales pero no todos los 125 números sean iguales. Aclaraciones: (a) Vas a escribir 125 números en total. Puedes repetir números, pero entre los 125 debe haber al menos dos distintos. (b) Se considera fila cualquier hilera de 5 cubitos alineados que lleve una dirección paralela a alguno de los lados del cubo. En otras palabras, hay en total 75 filas; 25 de ellas llevan la dirección adelante-atrás, otras 25 van en dirección izquierda-derecha y otras 25 llevan dirección arriba-abajo. En la figura se ilustra una fila en dirección izquierda-derecha. (c) Escribe tu respuesta poniendo 5 cuadrículas de $5 \times 5$ de manera que cada cuadrícula represente un “piso” del cubo. [image]

Una rueda tiene a su alrededor 128 casillas numeradas en forma consecutiva del 1 al 128. Una pulga va saltando de una casilla a otra siguiendo la siguiente regla: Cuando está sobre la casilla con número $N$ puede saltar únicamente a cualquiera de las dos casillas que están separadas $N$ casillas de esa misma (por ejemplo, cuando está en la casilla 3, sus dos posibilidades de salto son a la casilla 6 o a la casilla 128). Determina todas las casillas donde puede haber iniciado sus saltos la pulga de tal manera que, sin importar cómo haya ido saltando, al terminar su quinto salto se puede asegurar que está en la casilla 128 (tal vez no por primera vez).

Determinar el mínimo número de colores necesario para pintar las diagonales de un polígono regular de $2022$ lados si se necesita que cuando dos diagonales se intersecten en un punto interior al polígono, las dos diagonales tengan distinto color. (Nota: Llamamos diagonal de un polígono al segmento que une cualesquiera dos vértices del polígono que no pertenecen al mismo lado.)

En una cuadrícula de $m \times n$ con $m, n \geq 3$, el número de cuadritos que tienen exactamente 3 cuadritos vecinos es igual al número de cuadritos que tienen exactamente 4 cuadritos vecinos. ¿Cuántos cuadritos tiene la cuadrícula? (Nota: Decimos que dos cuadritos de la cuadrícula son vecinos cuando comparten un lado.)

En un círculo con centro $O$ se encuentran cinco puntos $A, B, C, D$ y $E$ (ver la figura). Los segmentos $AC$ y $EB$ se intersectan en el punto $P$; los segmentos $BD$ y $EC$ se intersectan en el punto $Q$. Además $PQ$ es paralela a $AD$. Probar que $EO$ es perpendicular a $AD$. [image]

Sea $n$ un natural par. En una cuadrícula de $n \times n$ están alternados los números $1$ y $0$, como se muestra a la derecha para $n = 4$. Una operación permitida consiste en escoger dos cuadros que compartan un lado y cambiar el número que aparece en cada uno de esos dos cuadros como sigue: Si hay $0$, poner $1$; si hay $1$, poner $2$ y, si hay $2$, poner $0$. Se quiere que los cuadros que tienen $1$ originalmente, al final tengan $0$, y viceversa. Encontrar para qué $n$'s es posible lograrlo. Para esos $n$, determinar el mínima cantidad de operaciones necesarias para lograrlo. [image]