Final Estatal OMM 2022 Problema 5
En el rectángulo $ABCD$, $P$ es un punto sobre el lado $AB$ tal que $AP = 2PB$. Probar que el área del triángulo sombreado es la quinta parte del área del rectángulo. [image]
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Final Estatal OMM 2022 Problema 4
En un polígono regular de $8$ lados se quieren numerar los vértices del $1$ al $8$ de forma tal que al moverse en la dirección de las manecillas del reloj los números vayan en orden creciente salvo en exactamente dos lugares. ¿De cuantas formas distintas puede hacerse esta numeración? En el esquema siguiente se muestra un acomodo posible. [image]
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Final Estatal OMM 2021 Problema 2
Encontrar todas las parejas de enteros positivos $x$ y $y$ tales que $\frac{1}{x} + \frac{3}{y} = \frac{1}{2}$.
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Final Estatal OMM 2021 Problema 1
En la figura, los cuadrados tienen centros $A$, $B$ y $C$. El punto $P$ es vértice común de los cuadrados con centros $A$ y $B$. Probar que $PC$ y $AB$ son segmentos perpendiculares de la misma longitud.
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Final Estatal OMM 2021 Problema 4
En el triángulo acutángulo $ABC$, $D$ es el pie de la altura desde $A$. Los puntos $P$ y $Q$ son la intersección del círculo con diámetro $AD$ y los lados $AB$ y $AC$, respectivamente. Probar que el área de $ABC$ es igual a $|PQ| \cdot r$, donde $r$ es el radio del círculo circunscrito a $\Delta ABC$.
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Final Estatal OMM 2021 Problema 5
Los 9 picos de la estrella que se muestra están numerados del $1$ al $9$ y desean pintarse cada uno con alguno de los colores negro, blanco y rojo de manera que haya $3$ picos de cada color, y que cualesquiera dos picos consecutivos tengan distinto color. ¿De cuántas maneras distintas pueden colorearse?
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Final Estatal OMM 2021 Problema 3
Probar que para todo $n \geq 2$, es posible partir el conjunto de los enteros del $1$ al $3n$ en $3$ conjuntos cuyos elementos sumen lo mismo.
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Final Estatal OMM 2021 Problema 6
En una retícula rectangular con $8 \times 8$ vértices, como la que se muestra, se quieren pintar algunos de los vértices de rojo de tal manera que ningún triángulo rectángulo con catetos horizontales o verticales tenga sus vértices rojos. ¿Cuál es el máximo número de puntos que pueden pintarse de rojo?
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Final Estatal OMM 2019 Problema 7
Un número $n$ es el resultado de multiplicar dos números enteros positivos cuya diferencia es 9, y también $n$ es el resultado de multiplicar dos números enteros positivos cuya diferencia es 6. Determinar todas las posibilidades para $n$.
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Final Estatal OMM 2019 Problema 8
Sean $p$, $q$, $r$, $s$ números primos tales que $$5 < p < q < r < s < p + 10.$$ Demostrar que la suma de estos cuatro primos es divisible entre 60.
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