¿De cuántas maneras se pueden distribuir los números enteros del 0 al 9 para hacer una lista de 5 números en orden de menor a mayor, si cada uno de los números es múltiplo de 3 y consta de dos dígitos?

El conjunto $X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ se quiere partir en 3 o más conjuntos de tal manera que las sumas de los conjuntos estén en sucesión aritmética. ¿De cuántas formas es eso posible? [Nota: Como ejemplo, obsérvese que el conjunto $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ se puede partir en los 5 conjuntos siguientes $A_1 = \{5\}$, $A_2 = \{1, 7\}$, $A_3 = \{2, 3, 6\}$, $A_4 = \{4, 10\}$ y $A_5 = \{8, 9\}$ cuyas sumas son: 5, 8(= 1 + 7), 11(= 2 + 3 + 6), 14(= 4 + 10) y 17(= 8 + 9) y estos números forman una sucesión aritmética porque la diferencia entre dos consecutivos es 3: 3 = 8 - 5 = 11 - 8 = 14 - 11 = 17 - 14.]

Sea $C$ un semicírculo con diámetro $AB$. El punto $C$ está en el diámetro $AB$ y los puntos $E$ y $D$ están sobre $C$ de manera que $E$ está entre $B$ y $D$ y $ riangle ACD = riangle ECB$. Las tangentes a $C$ por $D$ y $E$ se intersectan en $F$. Demostrar que $ riangle EFD = riangle ACD + riangle ECB$.

La figura muestra un triángulo $ABC$ en el que $\angle C > 90°$, $X$ es un punto en la prolongación de $AC$, $D$ es un punto tal que $\angle BCX = \angle BCD = \angle BAD$, y $M$ y $N$ son los puntos medios de $AB$ y $AD$, respectivamente. Probar que el cuadrilátero $NAMC$ es cíclico. [image]

En una cuadrícula de $5 \times 5$ se quieren tapar algunos cuadritos usando fichas en forma de L's de 3 cuadritos como la que se muestra abajo a la izquierda, de manera que ya no quepa una sola más. ¿Cuál es el mínimo número de L's que deben usarse? (En la figura de la derecha se muestra un acomodo con 7 L's en la que ya no cabe ninguna otra.) [image]

¿De cuántas formas distintas se puede construir una figura como la que se muestra abajo a la izquierda usando fichas como las dos que se muestran al centro de la figura? [Nota: Las fichas se pueden girar o voltear como se desee. En la figura, a la derecha, se muestra una forma de construirla.] [image]

En la figura, $AD$ y $BC$ son paralelas, $CD$ mide 9, $AB$ mide 8 y $M$ es el punto medio de $AB$. Demostrar que si $ABCD$ tiene perímetro 26, entonces $DM$ y $MC$ son perpendiculares. [image]

Encontrar los números $a, b \text {y} c$ que resuelven el siguiente sistema de ecuaciones: $$ (a + b)(a + b + c) = 0 $$ $$ (b + c)(a + b + c) = 190 $$ $$ (a + c)(a + b + c) = 532 $$

¿Cuántas sucesiones aritméticas empiezan con 38, terminan en 2018 y pasan por 1424? (Nota. Una sucesión aritmética es una sucesión $(a_1, a_2, \\ldots, a_n)$ en la que la diferencia de cualesquiera dos términos consecutivos es la misma constante; por ejemplo $5, 8, 11, 14, 17, 20$ es una sucesión aritmética que empieza en $5$, termina en $20$ y la diferencia entre términos consecutivos es $3$. En el problema, $a_1 = 38$, $a_n = 2018$ y algún término intermedio $a_i$ debe ser igual a $1424.)

En un torneo hay $8$ equipos. Cada pareja de equipos se enfrenta una vez y no hay posibilidad de empate. El puntaje final de cada equipo es el número de partidos que gana en el torneo. Sea $k$ el máximo número de equipos que terminan con el mismo puntaje. Determinar el mínimo y el máximo valor posibles para $k$.