En el panal de la figura de la derecha, una abeja quiere hacer un recorrido por los hexágonos cumpliendo las siguientes 4 condiciones: a) El recorrido no debe repetir hexágonos. b) Dos hexágonos consecutivos del recorrido deben compartir una arista. c) El recorrido debe empezar y terminar en el mismo lugar. d) El recorrido no debe usar tres hexágonos adyacentes que formen un triángulo (aunque no sean consecutivos en el recorrido). ¿De cuántas formas puede hacer el recorrido si dos recorridos se consideran iguales cuando usan los mismos hexágonos (aunque inicien en distinto lugar o vayan en sentido contrario)? [image]

En un torneo hay $8$ equipos. Cada pareja de equipos se enfrenta una vez y no hay posibilidad de empate. El puntaje final de cada equipo es el número de partidos que gana en el torneo. Sea $k$ el máximo número de equipos que terminan con el mismo puntaje. Determinar el mínimo y el máximo valor posibles para $k$.

Sea $C_1$ una circunferencia de diámetro $AO$ y sea $C_2$ la circunferencia de centro $O$ y radio $AO$. Sea $P$ un punto sobre la circunferencia $C_1$ (distinto de $A$ y $O$) tal que $|PO| < |AP|$. Sea $T$ la intersección de la recta $AP$ con la circunferencia $C_2$ ($T$ y $A$ puntos distintos). Sea $Q$ la intersección de $TO$ con $C_1$ ($Q$ y $O$ puntos distintos). Sea $R$ la intersección de $AQ$ con $PO$. Demostrar que $R$ está sobre $C_2$ si, y sólo si, $ angle PAO = 30^ ext{o}$.

Probar que es imposible hacer un recorrido siguiendo las flechas de la figura de manera que se empiece y termine en el hexágono sombreado y que pase exactamente una vez por cada uno de los hexágonos. [image]

En un círculo hay 9 casillas numeradas del 1 al 9. Determinar de cuántas maneras pueden colocarse 3 pelotas rojas, 3 azules y 3 verdes en las casillas si dos pelotas del mismo color no deben quedar juntas.

Probar que si $A$ es un conjunto de 12 números entre 1 y 20, entonces existen $a, b, c \\in A$ tales que $\operatorname{mcd}(a, b, c) \neq 1$.

En el hexágono convexo $ABCDEF$ lados opuestos son paralelos y de la misma longitud. El punto $P$ está sobre el segmento $AB$ y es tal que $|AP| = \frac{|AB|}{3}$. Las rectas $EA$ y $DP$ se intersectan en $Q$; las rectas $DA$ y $BQ$ se intersectan en $R$, y las rectas $CA$ y $FR$ se intersectan en $S$. Probar que $S$ es punto medio del segmento $FR$.

Encontrar todas las ternas de primos $(p, q, r)$ (no necesariamente distintos), tales que $\frac{p}{q+r} + \frac{q}{p+r} = 1$.

En la figura se muestran tres círculos iguales $\mathcal{K}$, $\mathcal{L}$ y $\mathcal{M}$ inscritos en el rectángulo $ABCD$; $K$ y $L$ son tangentes en $P$, $M$ pasa por $P$, $T$ es el punto de $L$ tal que $AT$ es tangente a $L$. Probar que $A$, $T$ y $C$ son colineales.

Digamos que una sucesión de enteros no negativos $(a_1, a_2, \\ldots, a_n)$ es consistente si cumple que \ \( egin{align*} 0 &\leq a_i \text{, para toda } i = 1, 2, \\ldots, n, \\ a_i &\leq i, \text{ y } \\ a_i &\equiv a_j \pmod{i} \text{ si } i \mid j. \ \ \) \ ¿Cuántas sucesiones consistentes hay si $n = 12$ y $a_6 = 3$?