Para $n$ natural con $n \geq 2$ sea $b_n = \frac{n^3 - 1}{n^3 + 1}$. Probar que \\" \\ \\ $b_2 \times b_3 \times b_4 \times \\ldots \times b_{100} = \frac{3367}{5050}$.

En la figura de la izquierda se muestra un triángulo con $\bullet$ en el centro, rodeado por 3 niveles de triángulos. Se construye una figura como la mostrada pero con 7 niveles (en lugar de 3). ¿De cuántas maneras es posible escoger una sucesión de triángulos que empiece en $\bullet$ y termine con un triángulo que tenga un lado sobre la orilla, si la sucesión debe escogerse de tal manera que cada dos triángulos sucesivos en la sucesión tengan un lado en común, que no repita triángulos y que en ningún momento regrese a un nivel anterior? (Por ejemplo, en la figura de la derecha se muestra una posible sucesión de triángulos en el caso de 3 niveles).

En la figura, $ABC$ es un triángulo isósceles con $AB = AC$, $D$ es un punto sobre el segmento $AC$ tal que $BD = BC$; $E$ es un punto sobre la recta $BC$ tal que $CD = CE$ y $F$ es el punto de intersección de las rectas $DE$ y $AB$. Demostrar que $BF = BC$.

Una figura como la que se muestra a la derecha estaba formada por bolitas $\bullet$ y palitos \ uniendo las bolitas. Estaba colgada por la bolita con número 1, pero se desprendieron algunos palitos (que podrían ser cualquier cantidad entre 0 y el total) de manera que todo lo que estaba abajo de los respectivos palitos se cayó. ¿De cuántas maneras distintas puede haber quedado la figura? (Nota: Abajo se muestran 5 posibilidades diferentes).

Sea $ABC$ un triángulo equilátero. Llamemos cuerda a cualquier segmento que tenga extremos en dos de los lados de $ABC$ y que sea paralelo al otro lado. Encontrar el menor $n$ tal que si se dibujan $n$ cuerdas paralelas a cada lado del triángulo, entonces el número de puntos de intersección de las cuerdas sea exactamente $180$.

En un tablero de $4 imes 4$ como el que se muestra abajo a la izquierda se van a colocar fichas como la que se muestra a su lado, en cualquier posición, de manera que cada ficha tape exactamente 3 de los cuadritos de la cuadrícula. Llamamos nivel a cualquier colocación de las fichas en la que ya no quepa ninguna ficha más, como la colocación que se muestra abajo a la derecha. ¿Cuál es el menor número de niveles necesarios para que cada cuadrito del tablero tenga encima de él exactamente 60 fichas? [image]

En la cuadrícula de abajo, cada cuadrito es de $1 imes 1$. ¿Cuántos caminos de longitud $9$ hay de $P$ a $Q$ que usen las líneas de la figura pero que no pasen dos veces por un mismo punto? [image]

Sea $ABCDE$ un pentágono regular. Sobre el lado $AE$ se construye el triángulo equilátero $AFE$, hacia afuera del pentágono. Sea $P$ un punto en el segmento $BF$ (en el interior del pentágono) de tal forma que $\angle AEP = 12°$. Calcular el valor de $\angle CAP$. [image]

Una hoja de papel rectangular $ABCD$ se dobla de manera que el vértice $B$ queda ubicado en el punto $B'$ sobre el lado $AD$, como se muestra en la figura (y $C$ queda en $C'$). Sean $E$ y $F$ los extremos del segmento determinado por el doblez, con $E$ sobre $AB$ y $F$ sobre $CD$. Sea $G$ el punto de intersección de $B'C'$ y $CD$. Sea $H$ el pie de la perpendicular desde $G$ hasta $FE$. Sea $I$ el punto donde la bisectriz del ángulo $\angle AEB'$ intersecta $AD$. Demostrar que $$\frac{GH}{CF} = \frac{EB}{EI}.$$ [image]

Digamos que un número entero $n$ es partible si se puede poner como la suma de $n$ enteros y también como el producto de esos mismos $n$ enteros. Por ejemplo, el número $12$ es partible pues $$12 = 6 imes (-2) imes 1 imes 1 imes 1 imes 1 imes 1 imes 1 imes 1 imes 1 imes 1 imes (-1)$$$$= 6 + (-2) + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + (-1).$$ Demostrar que el número $2015$ no es partible, es decir, que no existen enteros $a_1, a_2, \\ldots , a_{2015}$ tales que las dos expresiones siguientes den como resultado $2015$: $$a_1 imes a_2 imes \\cdots imes a_{2015}$$$$a_1 + a_2 + \\cdots + a_{2015}.$$