Sean $a$ y $b$ enteros positivos con $a>1$ y $b>2$. \nDemuestra que $$a^b+1\ge b(a+1)$$ y determina cuándo hay desigualdad.

Sea $S$ un subconjunto de $\{1,2,3,\ldots,1000\}$ con la propiedad de que ninguna suma de dos elementos diferentes en $S$ esté en $S$. Encuentra el número máximo de elementos de $S$.

Sea $\Gamma$ la circunferencia que pasa por los vértices de un triángulo $ABC$. Una circunferencia $\Omega$ es tangente al segmento $AB$ y tangente a $\Gamma$ en un punto situado al mismo lado de la recta $AB$ que $C$. La bisectriz del ángulo $\angle BCA$ interseca a $\Omega$ en dos puntos distintos $P$ y $Q$. Demuestra que $\angle ABP = \angle QBC$.

$S_1$ y $S_2$ son dos circunferencias que se cruzan en dos puntos diferentes $P$ y $Q$. Sean $\ell_1$ y $\ell_2$ dos rectas paralelas tales que $\ell_1$ pasa por el punto $P$ y corta $S_1,S_2$ en $A_1,A_2$ respectivamente (ambos distintos de $P$), y $\ell_2$ pasa por el punto $Q$ y corta $S_1,S_2$ en $B_1,B_2$ respectivamente (ambos distintos de $Q$). Demuestra que los triángulos $A_1QA_2$ y $B_1PB_2$ tienen el mismo perímetro.

Un tablero cuadrado con $8\text{cm}$ lados se divide en $64$ casillas con cada lado $1\text{cm}$. Cada casilla puede estar pintada de blanco o de negro. Halla el número total de formas de colorear el tablero para que cada cuadrado de lado $2\text{cm}$ formado por cuatro casillas con un vértice común contenga dos casillas blancas y dos negras.

En la figura, escribe un entero positivo dentro de cada triangulito, de manera que el número escrito en cada triangulito que tenga al menos dos vecinos sea igual a la diferencia de los números escritos en algún par de vecinos. Dos triangulitos son vecinos si comparten un lado.

Dos jugadores $ A$, $ B$ y otras 2001 personas forman un círculo, de manera que $ A$ y $ B$ no están en posiciones consecutivas. $ A$ y $ B$ juegan en turnos alternos, empezando por $ A$. Una jugada consiste en tocar a una de las personas vecinas, la cual una vez tocada sale del círculo. El ganador es el último que queda en pie. Demuestra que uno de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora, y dé dicha estrategia.

Decimos que un número es "tico" si la suma de sus dígitos es un múltiplo de $2003$. Demuestra que existe un número entero positivo $N$ tal que sus primeros $2003$ múltiplos, $N,2N,3N,\cdots, 2003N$, son todos ticos. ¿Existe un número entero positivo $N$ tal que todos sus múltiplos son ticos?

En la circunferencia de un círculo se marcan $ 10000$ puntos, que se numeran de $ 1$ a $ 10000$ en el sentido de las agujas del reloj. Se dibujan $ 5000$ segmentos de tal manera que se cumplan las siguientes condiciones: Cada segmento une dos puntos marcados. Cada punto marcado pertenece a uno y sólo un segmento. Cada segmento interseca exactamente uno de los segmentos restantes. A cada segmento se le asigna un número que es el producto del número asignado a cada punto final del segmento. Sea $ S$ la suma de los productos asignados a todos los segmentos. Demuestra que $ S$ es múltiplo de $ 4$.

Encuentra un conjunto de infinitos enteros positivos $ S$ tal que para cada $ n\ge 1$ y cualesquiera $ n$ elementos distintos $ x_1,x_2,\cdots, x_n$ de S, el número $ x_1 + x_2 + \cdots + x_n$ no es un cuadrado perfecto.