Encuentra un polinomio $ P\left(x\right)$ con coeficientes reales tal que $$(x+10)P(2x) = (8x - 32)P(x + 6)$$ para todo real $x$ y $P(1) = 210$.

La Olimpiada Centroamericana es una competición anual. La novena olimpiada se celebra en 2007. Halla todos los enteros positivos $n$ tales que $n$ divide el número del año en que se celebra la $n$-ésima Olimpiada.

Dados dos enteros no negativos $m>n$, digamos que $m$ "termina en" $n$ si podemos obtener $n$ borrando algunos dígitos (de izquierda a derecha) en la representación decimal de $m$. Por ejemplo, 329 termina en 29, y también en 9. Determina cuántos números de tres cifras terminan en el producto de sus dígitos.

Sea $S$ un conjunto finito de enteros. Supongamos que para cada dos elementos distintos de $S$, $p$ y $q$, existen enteros no necesariamente distintos $a \neq 0$, $b$, $c$ pertenecientes a $S$, tales que $p$ y $q$ son las raíces del polinomio $ax^{2}+bx+c$. Determina el número máximo de elementos que puede tener $S$.

Sea $ ABC$ un triángulo agudo. Tomemos los puntos $ P$ y $ Q$ dentro de $ AB$ y $ AC$, respectivamente, tales que $ BPQC$ es cíclico. La circunferencia de $ ABQ$ vuelve a intersecar $ BC$ en $ S$ y la circunferencia de $ APC$ vuelve a intersecar $ BC$ en $ R$, $ PR$ y $ QS$ vuelven a intersecarse en $ L$. Demuestra que la intersección de $ AL$ y $ BC$ no depende de la selección de $ P$ y $ Q$.

Dos jugadores, Rojo y Azul, juegan por turnos en un tablero de $10\times 10$. El azul va primero. En su turno, un jugador elige una fila o columna (no elegida aún por ningún jugador) y colorea todas sus casillas con su propio color. Si alguna de estas casillas ya estaba coloreada, el nuevo color sustituye al anterior. El juego termina después de 20 turnos, cuando todas las filas y columnas han sido elegidas. El rojo gana si el número de casillas rojas en el tablero supera al menos en 10 el número de casillas azules; en caso contrario, gana el azul. Determina qué jugador tiene una estrategia ganadora y describe esta estrategia.

$ABC$ es un triángulo, y $E$ y $F$ son puntos de los segmentos $BC$ y $CA$ respectivamente, tales que $\frac{CE}{CB}+\frac{CF}{CA}=1$ y $\angle CEF=\angle CAB$. Supongamos que $M$ es el punto medio de $EF$ y $G$ es el punto de intersección entre $CM$ y $AB$. Demuestra que el triángulo $FEG$ es semejante al triángulo $ABC$.

Definimos la secuencia $(a_n)$ como sigue: $a_0=a_1=1$ y para $k\ge 2$, $a_k=a_{k-1}+a_{k-2}+1$. Determina cuántos enteros entre $1$ y $2004$ inclusive se pueden expresar como $a_m+a_n$ con $m$ y $n$ enteros positivos y $m\neq n$.

Sea $ABC$ un triángulo, $H$ el ortocentro y $M$ el punto medio de $AC$. Sea $\ell$ la paralela que pasa por $M$ a la bisectriz del $\angle AHC$. Demuestra que $\ell$ divide el triángulo en dos partes de igual perímetro.

Las $n$ concursantes de cierta EGMO se llaman $C_1, \dots , C_n$. Después de la competencia, se ponen en fila fuera del restaurante de acuerdo a las siguientes reglas: El Jurado escoge el orden inicial de las concursantes en la fila. Cada minuto, el Jurado escoge un entero $i$ con $1 \le i \le n$. – Si la concursante $C_i$ tiene al menos otras $i$ concursantes delante de ella, le paga una moneda al Jurado y se mueve exactamente $i$ posiciones adelante en la fila. – Si la concursante $C_i$ tiene menos de $i$ concursantes delante de ella, el restaurante se abre y el proceso termina. (a) Muestra que el proceso no puede continuar indefinidamente, sin importar las elecciones del Jurado. (b) Determina para cada $n$ el máximo número de monedas que el Jurado puede recolectar escogiendo el orden inicial y la secuencia de movimientos astutamente.