2 Determine el menor entero positivo $n\geq 2$ para el cual existe un entero positivo $m$ tal que $mn$ divide a $m^{2023} + n^{2023} + n$ .

2 Una $\pm 1$ - sucesión es una sucesión de $2022$ números $a_1, \ldots, a_{2022},$ cada uno igual a $+1$ o $-1$ . Determine la mayor $C$ tal que, para cualquier $\pm 1$ - sucesión, exista un entero $k$ e índices $1 \le t_1 < \ldots < t_k \le 2022$ tales que $t_{i+1} - t_i \le 2$ para todo $i$ , y $$\left| \sum_{i = 1}^{k} a_{t_i} \right| \ge C.$$ ike.chen

2 Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $a+b+c = 3$ . Halle el valor mínimo de la expresión \[A=\dfrac{2-a^3}a+\dfrac{2-b^3}b+\dfrac{2-c^3}c.\]

5 Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AC=BC$, sea $M$ el punto medio de su lado $AC$, y sea $Z$ la recta que pasa por $C$ perpendicular a $AB$. El círculo que pasa por los puntos $B$, $C$ y $M$ interseca a la recta $Z$ en los puntos $C$ y $Q$. Encuentra el radio de la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en términos de $m = CQ$.

1 Sea $G$ el baricentro del triángulo $ABC$ . Sea $D$ un punto tal que $AGDB$ es un paralelogramo. Muestre que $BG \parallel CD$ .

4 Determine todas las soluciones reales de la ecuación: \[{ \frac{x^{2}}{x-1}+\sqrt{x-1}+\frac{\sqrt{x-1}}{x^{2}}}=\frac{x-1}{x^{2}}+\frac{1}{\sqrt{x-1}}+\frac{x^{2}}{\sqrt{x-1}} . \]

G3 Sea $\Omega$ el circuncírculo de un triángulo $ABC$ con $\angle BAC > 90^{\circ}$ y $AB > AC$. Las tangentes a $\Omega$ en $B$ y $C$ se cortan en $D$, y la tangente a $\Omega$ en $A$ corta a la recta $BC$ en $E$. La recta que pasa por $D$, paralela a $AE$, corta a la recta $BC$ en $F$. El círculo con diámetro $EF$ corta a la recta $AB$ en $P$ y $Q$, y a la recta $AC$ en $X$ y $Y$. Demuestra que uno de los ángulos $\angle AEB$, $\angle PEQ$, $\angle XEY$ es igual a la suma de los otros dos.

. ¿Para qué números naturales $n$ es el número $2^{n}+65$ un cuadrado perfecto? P2. En un tablero están escritos tres números $4, 7, 13$ . Se permite borrar uno de los números y reemplazarlo por la diferencia entre el doble del número borrado y uno de los otros dos números (por ejemplo, $(4,7,13)\to(4,1,13)$ ) . Esta operación se realiza varias veces. ¿Puede uno de los números llegar a ser igual a (a) $2002$ ; (b) $2003$ ? P3. Demuestre la desigualdad $a^{2}+b^{2}+c^{2}<2(1-abc)$ , donde $a, b, c$ son las longitudes de los lados de un triángulo de perímetro $2$ . P4. Se sabe que la gráfica de la función $y=f(x)+2g(x)$ es una línea recta que pasa por los puntos $A(-1,3)$ y $B(1,2)$ , y la gráfica de $y=3f(x)-g(x)$ es la imagen de la recta $AB$ bajo reflexión respecto al eje $y$ . Halle las funciones $f$ y $g$ . P5. En el triángulo $ABC$ , la mediana $BK$ y la bisectriz $CL$ se cortan en el punto $P$ . Demuestre que $\frac{PC}{PL}-\frac{AC}{BC}=1$ .

8 Sean $\displaystyle {x, y, z}$ números reales positivos tales que $\displaystyle {xyz = 1}$ . Demuestre la desigualdad: $$\displaystyle{\dfrac{1}{x\left(ay+b\right)}+\dfrac{1}{y\left(az+b\right)}+\dfrac{1}{z\left(ax+b\right)}\geq 3}$$ si: (A) $\displaystyle {a = 0, b = 1}$ (B) $\displaystyle {a = 1, b = 0}$ (C) $\displaystyle {a + b = 1, \; a, b> 0}$ ¿Cuándo se da la igualdad?

1 Demuestre que hay infinitos números naturales $n$ tales que $n$ no puede escribirse como suma de dos enteros positivos cuyos factores primos son menores que $1394$ .