2 Sea $ABC$ un triángulo fijo con circunferencia circunscrita $\omega$ . Considere $P$ un punto variable dentro de $ABC$ . El rayo $BP$ corta al lado $AC$ en $Y$ , mientras que el rayo $CP$ corta al lado $AB$ en $X$ . Sea $Q$ la segunda intersección de $\omega$ y la circunferencia circunscrita del triángulo $AXY$ . Sea $K$ la segunda intersección del rayo $AP$ y $\omega$ . Demuestre que, cuando $P$ varía, las circunferencias circunscritas del triángulo $QPK$ tienen todas un centro radical común. Iman Maghsoudi

Sean $a, b$ y $c$ números reales tales que $a + b = c$ y $a^2 + bc = 2$ . Halle el valor numérico de $a^2 + b^2 + c^2$ .

3 Sea $a=2001$ . Considere el conjunto $A$ de todos los pares de enteros $(m,n)$ con $n\neq0$ tales que (i) $m<2a$ ; (ii) $2n|(2am-m^2+n^2)$ ; (iii) $n^2-m^2+2mn\leq2a(n-m)$ . Para $(m, n)\in A$ , sea \[f(m,n)=\frac{2am-m^2-mn}{n}.\] Determine los valores máximo y mínimo de $f$ .

4 Suponga que una sucesión $a_1,a_2,\ldots$ de números reales positivos satisface \[a_{k+1}\geq\frac{ka_k}{a_k^2+(k-1)}\] para todo entero positivo $k$ . Demuestre que $a_1+a_2+\ldots+a_n\geq n$ para todo $n\geq2$ .

8 Sea $a_0, a_1, a_2, \ldots$ la única sucesión de enteros no negativos menores que $397$ con $a_0=1$ y $$a_{n+1}(a_n+1)^2 \equiv a_n \pmod{397}$$ para todo entero no negativo $n.$ Dado que $a_{2026}=9,$ calcule el residuo cuando $a_0+a_1+\cdots+a_{2026}$ se divide entre $397.$

2 Demuestre que se puede particionar el conjunto de los números naturales en $100$ subconjuntos no vacíos tales que entre cualesquiera tres números naturales $a$ , $b$ , $c$ que satisfacen $a+99b=c$ , haya dos que pertenezcan al mismo subconjunto.

11.5 Se da un triángulo $ABC$ con altura $AH$ y mediana $AM$ . La recta $OH$ corta a $AM$ en $D$ . Sean $AB \cap CD=E, AC \cap BD=F$ . Si $EH$ y $FH$ cortan a $(ABC)$ en $X, Y$ , demuestre que $BY, CX, AH$ son concurrentes.

11.6 Igual que 9.6

2 En un billar con forma de rectángulo $ABCD$ con $AB=2013$ y $AD=1000$ , se lanza una bola a lo largo de la recta de la bisectriz de $\angle BAD$ . Suponiendo que la bola se refleja en los lados con el mismo ángulo en el punto de impacto que el ángulo de tiro, examine si alguna vez llegará al vértice B.

15 Define un dominó como un par ordenado de enteros positivos distintos. Una secuencia propia de dominós es una lista de dominós distintos en la que la primera coordenada de cada par después del primero es igual a la segunda coordenada del par inmediatamente anterior, y en la que $(i,j)$ y $(j,i)$ no aparecen ambos para ningún $i$ y $j.$ Sea $D_{40}$ el conjunto de todos los dominós cuyas coordenadas no son mayores que 40. Encuentra la longitud de la secuencia propia más larga de dominós que se puede formar usando los dominós de $D_{40}.$