35 Determine los valores máximo y mínimo que puede tener la suma $|a| + |b| + |c|$ si $a, b, c$ son números reales tales que el valor máximo de $|ax^2 + bx + c|$ es $1$ para $-1 \leq x \leq 1.$ Amir

32 Halle, con demostración, todas las soluciones de la ecuación $\frac 1x +\frac 2y- \frac 3z = 1$ en enteros positivos $x, y, z.$ Amir

33 Sean $A,B$ vértices adyacentes de un $n$ - ágono regular ( $n\ge5$ ) con centro $O$. Un triángulo $XYZ$, congruente con $OAB$ e inicialmente coincidente con él, se mueve en el plano de tal manera que $Y$ y $Z$ recorren cada uno todo el borde del polígono, permaneciendo $X$ en el interior del polígono. Halle el lugar geométrico de $X$.

29 Definimos una operación binaria $\star$ en el plano como sigue: Dados dos puntos $A$ y $B$ en el plano, $C = A \star B$ es el tercer vértice del triángulo equilátero ABC orientado positivamente. ¿Cuál es la posición relativa de tres puntos $I, M, O$ en el plano si se cumple $I \star (M \star O) = (O \star I)\star M$? Amir

28 Una partícula se mueve de $(0, 0)$ a $(n, n)$ guiada por una moneda equilibrada. Por cada cara se mueve un paso hacia el este y por cada cruz se mueve un paso hacia el norte. En $(n, y), y < n$, permanece allí si sale cara, y en $(x, n), x < n$, permanece allí si sale cruz. Sea $ k$ un entero positivo fijo. Halle la probabilidad de que la partícula necesite exactamente $2n+k$ lanzamientos para llegar a $(n, n).$ Amir

41 Sean $M,N,P$ los puntos medios de los lados $BC, CA, AB$ de un triángulo $ABC$. Las rectas $AM, BN, CP$ intersecan a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en los puntos $A',B', C'$, respectivamente. Muestre que si $A'B'C'$ es un triángulo equilátero, entonces también lo es $ABC.$ Amir

42 Los enteros $1, 2, \cdots, n^2$ se colocan en las casillas de un tablero de ajedrez $n \times n$ $(n > 2)$ de tal manera que a cualesquiera dos casillas que tengan un lado o un vértice en común se les asignan números que difieren en a lo sumo $n + 1$. ¿Cuál es el número total de tales colocaciones? Amir

40 Halle el valor máximo que puede tener la cantidad $2m+7n$ tal que existen enteros positivos distintos $x_i \ (1 \leq i \leq m), y_j \ (1 \leq j \leq n)$ tales que los $x_i$ son pares, los $y_j$ son impares, y $\sum_{i=1}^{m} x_i +\sum_{j=1}^{n} y_j=1986.$ Amir

13 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que $AC = BD$ . Sobre los lados del cuadrilátero se construyen triángulos equiláteros. Sean $O_1,O_2,O_3,O_4$ los centros de los triángulos construidos sobre $AB,BC,CD,DA$ , respectivamente. Demuestre que $O_1O_3$ es perpendicular a $O_2O_4.$ Amir

8 Dados dos números reales positivos $a$ y $b$ , suponga que una aplicación $f : \mathbb R^+ \to \mathbb R^+$ satisface la ecuación funcional \[f(f(x)) + af(x) = b(a + b)x.\] Demuestre que existe una única solución de esta ecuación. Amir