7 Dos conos circulares rectos congruentes, cada uno con radio de base $3$ y altura $8$, tienen ejes de simetría que se intersectan en ángulo recto en un punto interior de los conos a una distancia $3$ de la base de cada cono. Una esfera de radio $r$ está dentro de ambos conos. El valor máximo posible de $r^2$ es $\frac mn$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos. Encuentra $m+n$.

Un insecto camina todo el día y duerme toda la noche. El primer día, comienza en el punto $O$, mira hacia el este, y camina una distancia de 5 unidades hacia el este. Cada noche el insecto rota $60 ^\circ$ en sentido contrario a las manecillas del reloj. Cada día camina en esta nueva dirección la mitad de lo que caminó el día anterior. El insecto se acerca arbitrariamente al punto $P$. Entonces $OP^2 = \frac{m}{n}$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos relativamente primos. Encuentra $m + n$.

9 Mientras veían un programa, Ayako, Billy, Carlos, Dahlia, Ehuang y Frank se sentaron en ese orden en una fila de seis sillas. Durante el descanso, fueron a la cocina por un bocadillo. Cuando regresaron, se sentaron en esas seis sillas de tal manera que si dos de ellos estaban sentados uno al lado del otro antes del descanso, entonces no se sentaron uno al lado del otro después del descanso. Encuentra el número de posibles órdenes de asiento que pudieron haber elegido después del descanso.

10 Sean $m$ y $n$ enteros positivos que cumplen las condiciones $\gcd(m+n,210) = 1,$ $m^m$ es múltiplo de $n^n,$ y $m$ no es múltiplo de $n$. Encuentra el menor valor posible de $m+n$.

Sea $P(x) = x^2 - 3x - 7$, y sean $Q(x)$ y $R(x)$ dos polinomios cuadráticos también con coeficiente de $x^2$ igual a $1$. David calcula cada una de las tres sumas $P + Q$, $P + R$ y $Q + R$ y se sorprende al encontrar que cada par de estas sumas tiene una raíz común, y estas tres raíces comunes son distintas. Si $Q(0) = 2$, entonces $R(0) = \dfrac mn$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos. Encuentra $m+n$.

12. Sean \( m \) y \( n \) enteros impares mayores que \( 1 \). Un rectángulo de \( m \times n \) está formado por cuadrados unitarios, donde los cuadrados de la fila superior se numeran de izquierda a derecha con los enteros \( 1 \) hasta \( n \), los de la segunda fila se numeran de izquierda a derecha con los enteros \( n+1 \) hasta \( 2n \), y así sucesivamente. El cuadrado \( 200 \) está en la fila superior, y el cuadrado \( 2000 \) está en la fila inferior. Encuentra el número de pares ordenados \( (m,n) \) de enteros impares mayores que \( 1 \) con la propiedad de que, en el rectángulo de \( m \times n \), la línea que pasa por los centros de los cuadrados \( 200 \) y \( 2000 \) interseca el interior del cuadrado \( 1099 \).

13 El punto $D$ yace sobre el lado $BC$ del triángulo $ABC$ de modo que $\overline{AD}$ biseca al $\angle BAC$. La mediatriz de $\overline{AD}$ interseca a las bisectrices de $\angle ABC$ y $\angle ACB$ en los puntos $E$ y $F$, respectivamente. Dado que $AB=4$, $BC=5$, $CA=6$, el área del triángulo $AEF$ se puede escribir como $\tfrac{m\sqrt n}p$, donde $m$ y $p$ son enteros positivos relativamente primos, y $n$ es un entero positivo no divisible por el cuadrado de ningún primo. Encuentra $m+n+p$.

Para un número real $x$, sea $\lfloor x\rfloor$ el mayor entero menor o igual que $x$, y define $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$ como la parte fraccionaria de $x$. Por ejemplo, $\{3\}=0$ y $\{4.56\}=0.56$. Define $f(x)=x\{x\}$, y sea $N$ el número de soluciones reales de la ecuación $f(f(f(x)))=17$ para $0\leq x\leq 2020$. Encuentra el residuo cuando $N$ se divide entre $1000$.

15 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circunferencia circunscrita $\omega$ y ortocentro $H$. Supón que la tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $HBC$ en $H$ interseca a $\omega$ en los puntos $X$ y $Y$ con $HA=3$, $HX=2$, $HY=6$. El área del triángulo $ABC$ se puede escribir como $m\sqrt n$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos, y $n$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Encuentra $m+n$.

Los puntos $C\neq D$ están en el mismo lado de la recta $AB$ de modo que $\triangle ABC$ y $\triangle BAD$ son congruentes con $AB = 9$, $BC=AD=10$, y $CA=DB=17$. La intersección de estas dos regiones triangulares tiene área $\tfrac mn$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos. Encuentra $m+n$.