1 Sean $p$ y $q$ números primos distintos. Se nos da una progresión aritmética infinita decreciente en la que ocurre cada uno de los números $p^{23}, p^{24}, q^{23}$ y $q^{24}$ . Demuestre que los números $p$ y $q$ también ocurren en esta progresión. Propuesto por A. Kuznetsov

2 Sea $n \ge 3$ un entero impar. En un tablero $2n \times 2n$ , coloreamos $2(n-1)^2$ casillas. ¿Cuál es el mayor número de esquinas de tres casillas que con seguridad pueden recortarse de la figura sin colorear? Propuesto por G. Sharafetdinova

3 Sea $n$ un entero positivo. Ilya y Sasha eligen ambos un par de polinomios distintos de grado $n$ con coeficientes reales. Lenya conoce $n$ ; su objetivo es averiguar si Ilya y Sasha tienen el mismo par de polinomios. Lenya selecciona un conjunto de $k$ números reales $x_1<x_2<\dots<x_k$ y reporta estos números. Luego Ilya llena una tabla $2 \times k$: para cada $i=1,2,\dots,k$ escribe un par de números $P(x_i),Q(x_i)$ (en cualquiera de los dos órdenes posibles) en las dos casillas de la $i$ - ésima columna, donde $P$ y $Q$ son sus polinomios. Sasha llena una tabla similar. ¿Cuál es el $k$ mínimo tal que Lenya puede lograr con seguridad el objetivo mirando las tablas? Propuesto por L. Shatunov

4 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $\angle A+\angle D=90^\circ$ y $E$ el punto de intersección de sus diagonales. La recta $\ell$ corta a los segmentos $AB$ , $CD$ , $AE$ y $ED$ en los puntos $X,Y,Z,T$ , respectivamente. Suponga que $AZ=CE$ y $BE=DT$ . Demuestre que la longitud del segmento $XY$ no es mayor que el diámetro de la circunferencia circunscrita de $ETZ$ . Propuesto por A. Kuznetsov, I. Frolov

6 Sea $ABCD$ un paralelogramo. Sea $M$ el punto medio del arco $AC$ que contiene a $B$ de la circunferencia circunscrita de $ABC$ . Sea $E$ un punto del segmento $AD$ y $F$ un punto del segmento $CD$ tales que $ME=MD=MF$ . Demuestre que $BMEF$ es cíclico. Propuesto por A. Tereshin

7 Sean $x_1$ y $x_2$ enteros positivos. Sobre una recta se dan $y_1$ segmentos blancos y $y_2$ segmentos negros, con $y_1 \ge x_1$ y $y_2 \ge x_2$ . Suponga que no hay dos segmentos del mismo color que se intersequen (y que no tengan extremos comunes). Además, suponga que para cualquier elección de $x_1$ segmentos blancos y $x_2$ segmentos negros, algún par de los segmentos seleccionados se interseca. Demuestre que $(y_1-x_1)(y_2-x_2)<x_1x_2$ . Propuesto por G. Chelnokov

8 Sea $n>2$ un entero positivo. Masha escribe $n$ números naturales alrededor de un círculo. Luego, Taya realiza la siguiente operación: entre cualesquiera dos números adyacentes $a$ y $b$ , escribe un divisor del número $a+b$ mayor que $1$ ; después Taya borra los números originales y obtiene un nuevo conjunto de $n$ números alrededor del círculo. ¿Puede Taya realizar siempre estas operaciones de tal manera que, después de un cierto número de operaciones, todos los números sean iguales? Propuesto por T. Korotchenko

1 Se nos da un cilindro infinito en el espacio (es decir, el lugar geométrico de los puntos a una distancia dada $R>0$ de una recta dada). ¿Pueden seis rectas que contienen las aristas de un tetraedro tener todas exactamente un punto común con este cilindro? Propuesto por A. Kuznetsov

2 Llame misteriosa a una terna $(a,b,c)$ de números positivos si \[\sqrt{a^2+\frac{1}{a^2c^2}+2ab}+\sqrt{b^2+\frac{1}{b^2a^2}+2bc}+\sqrt{c^2+\frac{1}{c^2b^2}+2ca}=2(a+b+c).\] Demuestre que si la terna $(a,b,c)$ es misteriosa, entonces también lo es la terna $(c,b,a)$ . Propuesto por A. Kuznetsov, K. Sukhov

8 $1000$ niños, sin dos de la misma estatura, se alinean. Llamemos buena a un par de niños distintos $(a,b)$ si entre ellos no hay ningún niño cuya estatura sea mayor que la estatura de uno de $a$ y $b$ , pero menor que la estatura del otro. ¿Cuál es el mayor número de pares buenos que se pueden formar? (Aquí, $(a,b)$ y $(b,a)$ se consideran el mismo par.) Propuesto por I. Bogdanov