85 Sean $A_1, A_2, \ldots, A_n$ ($n \geq 4$) $n$ conjuntos convexos en el plano. Sabiendo que cada tres conjuntos convexos tienen un punto en común. Demuestra que existe un punto que pertenece a todos los conjuntos. Amir

6 Encuentra todas las funciones \( f(x) \) tales que \( f:\mathbb{R}\to(0,\infty) \), la función es diferenciable en el punto \( x=0 \), y para todo \( x,y\in\mathbb{R} \), $$ f(x+y)=f(x)^{2^y}\cdot f(y)^{2^x}. $$

Dada la función \( f(x) = \sin x + \sin \pi x \) y un número positivo \( d \). Demuestra que existe un número real \( p \) tal que \( |f(x + p) - f(x)| < d \) se cumple para todos los números reales \( x \), y que el valor de \( p \) puede ser arbitrariamente grande.

Sea $m$ un entero positivo impar no divisible por $3$. Demuestra que $\left[4^m -(2+\sqrt 2)^m\right]$ es divisible por $112.$

88 Sean $w, x, y, z$ reales no negativos tales que $wx + xy + yz + zw = 1$. Demuestra que $$ \frac{w^3}{x + y + z} + \frac{x^3}{w + y + z} + \frac{y^3}{w + x + z} + \frac{z^3}{w + x + y} \geq \frac{1}{3}. $$ Fermat-Euler

89 Sea $n$ un entero positivo. $S_1, S_2, \ldots, S_n$ son conjuntos disjuntos por pares, y $S_k$ tiene exactamente $k$ elementos $(k = 1, 2, \ldots, n)$. Define $S = S_1\cup S_2\cup\cdots \cup S_n$. La función $f: S \to S$ mapea todos los elementos de $S_k$ a un elemento fijo de $S_k$, $k = 1, 2, \ldots, n$. Encuentra el número de funciones $g: S \to S$ que satisfacen $f(g(f(x))) = f(x)$. Amir

90 Sea $P$ un punto variable sobre la circunferencia de un cuarto de círculo con radios $OA, OB$ y $\angle AOB = 90^\circ$. $H$ es la proyección de $P$ sobre $OA$. Encuentra el lugar geométrico del incentro del triángulo rectángulo $HPO$. Amir

91 Cuadrilátero $ABCD$ tiene una circunferencia inscrita con centro $O$. Sabiendo que $AB = CD$, y $M, K$ son los puntos medios de $BC, AD$ respectivamente. Demuestra que $OM = OK.$ Amir

6 Halle todos los enteros positivos $n$ que satisfacen $2n+7 \mid n! -1$ .

92 Sea $n$ un entero positivo y $m = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$. En el plano coordenado, hay $n$ rectas distintas $L_1, L_2, \ldots, L_n$ y $m$ puntos distintos $A_1, A_2, \ldots, A_m$, que satisfacen las siguientes condiciones: i) Cualesquiera dos rectas son no paralelas. ii) Cualesquiera tres rectas son no concurrentes. iii) Solo $A_1$ no está sobre ninguna recta $L_k$, y hay exactamente $k + 1$ puntos $A_j$ que están sobre la recta $L_k$ $(k = 1, 2, \ldots, n).$ Demuestra que existe un único polinomio $p(x, y)$ de grado $n$ que satisface $p(A_1) = 1$ y $p(A_j) = 0$ para $j = 2, 3, \ldots, m.$ Amir